質問＜１０＞９８／５／２６
from=こうすけ
「整数の中の数字の出現回数について」

　ｎ桁の正の整数で、各位の数字の中に、０と９が併せて偶数回（０個
の場合は除く）現れるものの個数をＡｎとし、また、０と９が併せて奇
数回現れるものの個数をＢｎとします。
　このときＡｎ＋Ｂｎをｎの式で表すにはどうすればよいでしょうか。

お返事９８／５／２９
from=武田

　Ａｎ＋Ｂｎは０と９が併せて偶数回・奇数回なので、１回以上現れる
ことと同じですから、ｎ桁の正の整数について場合分けして考えてみま
すと、
　１回出現の時、１×n-1Ｃ0２0×８n-1＋８×n-1Ｃ1２1×８n-2
　２回出現の時、１×n-1Ｃ1２1×８n-2＋８×n-1Ｃ2２2×８n-3
　３回出現の時、１×n-1Ｃ2２2×８n-3＋８×n-1Ｃ3２3×８n-4
……と繰り返すので、右に一つずらして足し算をすると、
　Ａｎ＋Ｂｎ＝１×n-1Ｃ0２0×８n-1＋９×Σ（k=1からn-1まで）n-1Ｃk２k×８n-1-k
　　　　　　＝８n-1 ＋９×Σ(k=1からn-1まで）n-1Ｃk２k×８n-1-k
と言うｎの式になります。
　今、５桁の正の整数の時のＡ５＋Ｂ５＝57,232　と言う答え
があっているか、同僚のコンピュータの専門家に調査してもらっています。



（追伸）
　仕事の帰りに車の中で運転しながらボーと考えていると、上の問題が
簡単に解けることが分かり、「ナンダ！」と声を上げてしまいました。
「少なくとも１回以上起こる」の考え方を使うのです。
　ｎ桁の整数のすべての位に０から９まで使った場合は、先頭だけ０は
除くので、９×１０n-1通りとなる。そこで、少なくとも０または９
が１回以上起こるを解くためには、全く起こらない時を計算して、全体
から引けばよいので、全く起こらない場合の数は８n通りである。
　したがって、Ａｎ＋Ｂｎ＝９×１０n-1－８nとなる。
ｎ＝５桁の時は、
Ａ５＋Ｂ５＝９×１０4－８5
　　　　　　＝90000－32768＝57232　
となるので、こっちの方が簡単だった。