質問＜１０３０＞２００２／１２／５
from=シルビア
「マクローリン」

全くわからないので、教えて下さい。

log(1+1/x)にn=3としてマクローリンの定理を適用し、
次の極限を求めよ。

lim{x-x^2log(1+1/x)}
x→∞
できれば、解析過程も詳しくお願い致します。

お便り２００２／１２／６
from=Tetsuya Kobayashi

t=1/x と置けば、(t-log(1+t))/t^2 の t→0 における極限を求める。
マクローリンの定理より、t-t^2/2≦log(1+t)≦t-t^2/2+t^3/3 だから、
はさみうちの原理より、求める極限は 1/2 。

お便り２００２／１２／６
from=phaos

|t|< 1 とすると
1/(1 + t) = 1 - t + t^2 - t^3 + …
だから
log(1 + t) = ∫_0^t dt/(1 + t) = t - t^2/2 + t^3/3 - t^4/4 + …
故に log(1 + 1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) + o(1/x^3)
従って
x - x^2 log(1 + 1/x) = x - (x - 1/2 + 1/(3x) + o(1/x))
= 1/2 - 1/(3x) + o(1/x) → 1/2 as x→∞.