質問<1030>2002/12/5
全くわからないので、教えて下さい。 log(1+1/x)にn=3としてマクローリンの定理を適用し、 次の極限を求めよ。 lim{x-x^2log(1+1/x)} x→∞ できれば、解析過程も詳しくお願い致します。
お便り2002/12/6
from=Tetsuya Kobayashi
t=1/x と置けば、(t-log(1+t))/t^2 の t→0 における極限を求める。 マクローリンの定理より、t-t^2/2≦log(1+t)≦t-t^2/2+t^3/3 だから、 はさみうちの原理より、求める極限は 1/2 。
お便り2002/12/6
from=phaos
|t|< 1 とすると 1/(1 + t) = 1 - t + t^2 - t^3 + … だから log(1 + t) = ∫_0^t dt/(1 + t) = t - t^2/2 + t^3/3 - t^4/4 + … 故に log(1 + 1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) + o(1/x^3) 従って x - x^2 log(1 + 1/x) = x - (x - 1/2 + 1/(3x) + o(1/x)) = 1/2 - 1/(3x) + o(1/x) → 1/2 as x→∞.