質問＜１０６＞９８／１２／２７
from=ｈａｊｉｍｅ
「平均値の定理」

平均値の定理よくわかりません！！
教えてください！！！！

お返事９８／１２／３０
from=武田

ラグランジュの平均値の定理（１）とロールの定理（２）と
コーシーの平均値の定理（３）について紹介します。

（１）ラグランジュの平均値の定理
閉区間［ａ，ｂ］で定義された実数値関数ｆ（ｘ）が、
［ａ，ｂ］で連続、（ａ，ｂ）で微分可能ならば、
ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）
─────────＝ｆ’（ξ）……①
　　　ｂ－ａ
ａ＜ξ＜ｂ
なるξが少なくとも１つ存在する。

図より、
①の左辺はＡＢの傾き、右辺は接線の傾き、これが等しいよ
うなξがａとｂの間に少なくとも１つは存在することがわか
る。

（２）ロールの定理
閉区間［ａ，ｂ］で定義された実数値関数ｆ（ｘ）が、
［ａ，ｂ］で連続、（ａ，ｂ）で微分可能ならば、
ｆ’（ξ）＝０
ａ＜ξ＜ｂ
なるξが少なくとも１つ存在する。

図より、
ラグランジュの平均値の定理のｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）の場合を
さす。

（３）コーシーの平均値の定理
関数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）が区間［ａ，ｂ］で連続、（ａ，ｂ）
で微分可能で、かつ
①ｇ（ａ）≠ｇ（ｂ）
②ｆ’（ｘ），ｇ’（ｘ）は同時には０にならない
を満たすならば、
ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）　ｆ’（ξ）
─────────＝─────
ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）　ｇ’（ξ）
ａ＜ξ＜ｂ
なるξが少なくとも１つ存在する。