質問<1065>2003/1/12
レポートなんですが、教科書見てもわからないんです。 1)極限値問題。 n-1 1 lim Σ ―――――――――― n→∞ k=0 √nの2乗-kの2乗 分母はすべてルートの中です。 2)広義積分が収束するようなaの範囲は? ∞ xの(a-1)乗 ∫ ――――――― dx 0 1+x 3) 積分の順序を交換せよ。 4 2√x ∫ dx ∫ f(x,y)dy 0 x お願いします。
お便り2003/1/13
from=juin
(1)limSigma(1/Sqrt(n^2-k^2)=limSigma(1/n)(1/Sqrt(1-(k/n)^2)) =Integral(dx/Sqrt(1-x^2)) on 0<x<1 =Pi/2
お便り2003/1/14
from=phaos
1) 与式 = lim Σ (1/n)(1/√(1 - (k/n)^2)) = ∫_0^1 dx/√(1 - x^2) … x = sin t と置く = ∫_0^(π/2) cos t dt/√(1 - sin^2 t) = ∫_0^(π/2) dt = π/2. 2) 先ず x = 0 の方を見ると, a - 1 > -1 即ち a > -2 でなければならない。 x → ∞ の方を見ると a < -1 でなければならない。 よって -2 < a < -1. 3) 積分領域を描いてみると分かるが x ≦ y ≦ 2√x, 0 ≦ x ≦ 4 である。これを y の方を主体にしてみると y ≦ x ≦ y^2/4, 0 ≦ y ≦ 4 だから 与式 = ∫_0^4 dy ∫_(y^2/4)^y f(x, y) dx.