質問<1067>2003/1/13
α1=3、(n+1)αn+1=αn^2-1によって定義される数列{αn}の 一般項を類推し、それが正しいことを数学的帰納法によって証明せよ。 (わかりやすいように指数やインデックスは半角文字、普通の数字は 全角文字にしてみました。) 上記のような問題なのですが…このようにして↓↓↓ n=1のとき 2α2=8 ⇒α2=4 n=2のとき 3α3=15 ⇒α3=5 n=3のとき 4α4=24 ⇒α4=6 で、数列{αn}はαn=n+2と類推される。 まではなんとか…。 その後この類推の正しさを証明できません。 どうぞよろしくお願い致します。
お便り2003/1/14
from=phaos
α_n = n + 2 と仮定する。 α_(n + 1) = ((α_n)^2 - 1)/(n + 1) だから 右辺 = ((n+2)^2 - 1)/(n + 1) = (n^2 + 4n + 3)/(n + 1) = (n + 1)(n + 3)/(n + 1) = n + 3 = (n + 1) + 2 = 左辺。 よって数学的帰納法により正しい。