質問

こんにちは。インターネットを始めて、まだ1ヶ月です。
数学を教えてもらえるいい先生でもいないかな～？
なんて思ってたら、まさにぴったりのこのページに
出会いました。よろしくお願いします！！

問題

1から5までの番号のついた5つの箱と、1から5までの番号が
書いてある5枚のカードがある。この5枚のカードを手に持ち
1番目の箱から5番目の箱までに順にカードを1枚ずつ入れる。
そして、箱の中のカードの番号と箱の番号が一致している
番号の最少値をＸとし、得点ＹをＹ＝5-Ｘとする。
ただし、箱の中のカードの番号と箱の番号が全く一致してい
ないときはＹ＝0とする。

（1）5枚のカードの入れ方は全部で何通りあるか。
（2）＜1＞Ｘ＝1となる確率を求めよ。
　　 ＜2＞Ｘ＝2となる確率を求めよ。
　　 ＜3＞Ｘ＝3となる確率を求めよ。
（3）得点Ｙの期待値を求めよ。

すみません。まだあまり、うまく打てなくて、
歪んじゃいました（＾＾；）。読みにくいで
しょうが、よろしくおねがいします。

お返事９８／１２／３１
from=武田

問（１）
順列₅Ｐ₅＝５×４×３×２×１＝１２０通り

問（２）
＜１＞Ｘ＝１となる確率
　　　１／５……（答）

＜２＞Ｘ＝２となる確率
　　　（３／５）×（１／４）＝３／２０……（答）

＜３＞Ｘ＝３となる確率
　　　箱１に２が入るとき、
　　　　（１／５）×（３／４）×（１／３）＝１／２０
　　　箱１に２以外が入るとき（当然１，３以外でもある）
　　　　（２／５）×（２／４）×（１／３）＝１／１５
　　　したがって、
　　　１／２０＋１／１５＝７／６０……（答）

問（３）
　Ｘ：１　２　３　４　５　他
　Ｙ：４　３　２　１　０　０
より、期待値は
　１　　　　３　　　　７　　　　１１　　　　３　　　１１
　─×４＋──×３＋──×２＋───×１＋──×０＋──×０
　５　　　２０　　　６０　　　１２０　　　４０　　　３０
＝１８９／１２０＝１．５７５……（答）

このように答えていると、簡単に求まったように見えますが、
Ｘ＝４のときの確率が大変難しく、結局は全部書き出して
１１／１２０を求めた次第です。
Ｘ＝５も、他の場合（全部異なる）も同様です。
ちょっと解法としては綺麗でないので、何か良い方法があったら
教えて下さい。