質問<1070>2003/1/14
1) Pn(x)= 1 dのn乗 ――――― ―――――(xの2乗-1)のn乗 2のn乗*n! dxのn乗 をルジャンドルの多項式という。 ここで、n=1,2,・・・.この時、以下を説明せよ。 1 0(m≠n) ∫Pm(x)Pn(x)dx= -1 2/2n+1(m=n) 2) dxdy ∫∫ ――――――――――――― D (1+xの2乗+yの2乗)の3/2乗 D=(x,y)| 0 ≦ xの2乗 + yの2乗 ≦ 1 }
お便り2003/1/22
from=phaos
1080 と 1070 の 2) は同じ問題ですね。 x = r cos θ y = r sin θ と置くと x^2 + y^2 = r^2, dxdy = rdrdθ で, D は 0 < r ≦ 1, 0 ≦ θ < 2π (正確にいうとこれに原点 O を付け加えたもの。 一点は測度 0 だから無視して良い) に変換される。 与式 = ∫_0^(2π) dθ ∫_0^1 rdr/(1 + r^2)^(3/2) = 2π・(1/2)∫_0^1 d(1 + r^2)/((1 + r^2)^(3/2) = π[-2/√(1 + r^2)]_0^1 = π(-2/(√2) + 2) = (2 - √2)π.
お便り2003/1/26
from=phaos
1) Legendre の球函数については 高木貞治: 解析概論 改訂第 3 版, §36 に出ているので, それを見ると出来る。