質問<1073>2003/1/15
解き方がよくわからないので、教えて下さい。 ① (1+x)^nの展開式において、16番目の係数と26番目の係数とが 等しいとき、nの値を求めよ。 ② (x+y)^nの展開式において、6項目の係数は112、7項目は7、 8項目は1/4であるときx、y、nを求めよ。
お便り2003/1/17
from=phaos
(1) 二項係数の性質から nC16 = nC(n-16) = nC26 で, n - 16 = 26 以外にはあり得ない。 n = 42. (2) (問題が一寸おかしいので, 「y, n を求めよ」 で解く) 第 6 項: nC5 x^(n-5)y^5 = 112 x^(n-5), 第 7 項: nC6 x^(n-6)y^6 = 7 x^(n-6), 第 8 項: nC7 x^(n-7)y^7 = x^(n-7)/4. で 第 7 項の係数/第 6 項の係数, 第 8 項の係数/第 7 項の係数 を考えると (nCr = n!/(r!(n-r)!) だから) (n - 5)y/6 = 1/16, (n - 6)y = 1/4 を得る。 つまり 8(n - 5)y = 3, 4(n - 6)y = 1. 辺々割算すると 2(n - 5)/(n - 6) = 3 2n - 10 = 3n - 18 n = 8. (整数且つ 7 以上だから適) 一つ前のどちらかの式に代入して y = 1/8.