質問

a,bを1より大きい整数を表すものとするとき、
(a^3)×b-a×(b^3)は6の倍数であることを証明せよ。
という問題なのですが、
さっぱりわからないので、どなたかよろしくお願いします。

お便り２００３／１／１７
from=phaos

偶数で且つ 3 の倍数であることを示せばよい。
a^3 b - ab^3 = ab(a^2 - b^2) = ab(a + b)(a - b)
であることに着目する。
(a) 偶数
a 又は b が偶数なら明らか。
a, b の両方が奇数の時は, a + b が偶数だから良い。
(b) 3 の倍数
a 又は b が 3 の倍数ならば明らか。
a ≡ b (mod 3) ならば a - b ≡ 0 (mod 3) だからよい。
a, b の一方が ≡ 1 (mod 3) で他方が ≡ -1 (mod 3)
の時は a + b ≡ 0 (mod 3) だからよい。

以上より a^3 b - ab^3 ≡ 0 (mod 6).