質問<1075>2003/1/15
a,bを1より大きい整数を表すものとするとき、 (a^3)×b-a×(b^3)は6の倍数であることを証明せよ。 という問題なのですが、 さっぱりわからないので、どなたかよろしくお願いします。
お便り2003/1/17
from=phaos
偶数で且つ 3 の倍数であることを示せばよい。 a^3 b - ab^3 = ab(a^2 - b^2) = ab(a + b)(a - b) であることに着目する。 (a) 偶数 a 又は b が偶数なら明らか。 a, b の両方が奇数の時は, a + b が偶数だから良い。 (b) 3 の倍数 a 又は b が 3 の倍数ならば明らか。 a ≡ b (mod 3) ならば a - b ≡ 0 (mod 3) だからよい。 a, b の一方が ≡ 1 (mod 3) で他方が ≡ -1 (mod 3) の時は a + b ≡ 0 (mod 3) だからよい。 以上より a^3 b - ab^3 ≡ 0 (mod 6).