質問＜１０７８＞２００３／１／１７
from=aiko
「広義積分」

∫logsinXdx 積分範囲（0からΠ/2)
の広義積分なんですけどわからないので教えてください

お便り２００３／１／１８
from=phaos

L. Euler の結果。
∫_0^(π/2) log sin θ dθ = -(π/2)log 2.
これの証明 (高木貞治: 解析概論 3/e §34 [例 3] p. 113):
被積分函数は θ→0 の時 -∞ になるけれども,
(θ^α)log sin θ = (θ^α)log θ + (θ^α)log((sin θ)/θ) → 0 (α > 0)
だから, 積分は収束する。 この積分を I と置くと θを π - θ に変換し,
或いは又 (π/2) - θ に変換することによって
I = ∫_(π/2)^π log sin θ dθ = ∫_0^(π/2) log cos θ dθ.
従って
2I = ∫_0^π log sin θ dθ.
ここで θ = 2φ とすると
I = ∫_0^(π/2) log sin 2φ dφ = ∫_0^(π/2) log (2 sin φ cos φ) dφ
= ∫_0^(π/2) log 2 dφ + ∫_0^(π/2) log sin φ dφ + ∫_0^(π/2) cos φ dφ
= (π/2)log 2 + 2I.
だから□
　これは Lars V. Ahlfors Complex Analysis 5.3 Evaluation of Definite Integrals の
5 として Cauchy の積分定理を用いて ∫_0^π log sin θ dθ = -π log 2 と求めているのと同じ。