質問<1080>2003/1/19
dxdy ∫∫ ――――――――――――― D (1+xの2乗+yの2乗)の3/2乗 D=(x,y)| 0 ≦ xの2乗 + yの2乗 ≦ 1 } お願いします。
お便り2003/1/22
from=phaos
1080 と 1070 の 2) は同じ問題ですね。 x = r cos θ y = r sin θ と置くと x^2 + y^2 = r^2, dxdy = rdrdθ で, D は 0 < r ≦ 1, 0 ≦ θ < 2π (正確にいうとこれに原点 O を付け加えたもの。 一点は測度 0 だから無視して良い) に変換される。 与式 = ∫_0^(2π) dθ ∫_0^1 rdr/(1 + r^2)^(3/2) = 2π・(1/2)∫_0^1 d(1 + r^2)/((1 + r^2)^(3/2) = π[-2/√(1 + r^2)]_0^1 = π(-2/(√2) + 2) = (2 - √2)π.