質問＜１０８１＞２００３／１／１９
from=（なまえ）
「正規直行基」

（1）
関数｛1,cosX,sinX,cos2X,sin2X｝で生成されるＲ上のベクトル空間をＶとする。
Ｖの2つの関数f(X),g(X)の内積を

　　　　　　　　π
（f(X),g(X)）＝∫ f(X),g(X)ｄX
　　　　　　　 -π　　　　　　　　　　と定義する。

ａ1＝1/√2π, ａ2＝1/√π*cosX, ａ3＝1/√π*sinX ａ4＝1/√π*cos2X, 
ａ5＝1/√π*sin2X,とする時、
｛ａ1,ａ2,ａ3,ａ4,ａ5｝は正規直行基であることを示せ。

（2）
Ｖ, ａ1,…ａ5 を（1）と同じものとする。
Ｖの線形変換Ｔを（f(X)）＝f(X+θ)と定義するとき、
基｛ａ1,…ａ5 ｝に関するTの表現行列を求めよ。

難易度が高くてわからないのです。よろしくお願いします。

お便り２００３／１／２１
from=phaos

(1) は (a_i, a_k) が i = k ならば 1 に, そうでなければ 0 になることを
地道に計算すればよい。

(2) T(a_1) = a_1 は定数だから自明。
T(a_2) = (1/√π)cos(x + θ) = (1/√π)(cos x cos θ - sin x sin θ)
= a_2 cos θ - a_3 sin θ,
T(a_5) = (1/√π)sin(2(x + θ)) = (1/√π)(sin 2x cos 2θ + cos 2x sin 2θ)
= a_5 cos 2θ + a_4 sin 2θ
等々となるから, これを行列表現すればいい。

お便り２００３／１／２１
from=（なまえ）

詳しい解答と頂きたいです。
難易度が高くてわからないのです。
よろしくお願いします。

お便り２００３／１／２２
from=phaos

(1)
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/int2/defint/simple.htm
の [11], [12], [13] を見よう。

(2)
ここまで書いたのに尚分からないとはかなり重症だ。
三角函数の加法定理も線型代数も分かってないのじゃないかと思われる。

前のように
T(a_1) = a_1.
T(a_2) = (1/√π)cos(x + θ) = (1/√π)(cos x cos θ - sin x sin θ)
= a_2 cos θ - a_3 sin θ,
T(a_3) = (1/√π)sin(x + θ) = (1/√π)(sin x cos θ + cos x sin θ)
= a_3 cos θ + a_2 sin θ
T(a_4) = (1/√π)cos(2(x + θ)) = (1/√π)(cos 2x cos 2θ - sin 2x sin 2θ)
= a_4 cos 2θ - a_5 sin 2θ
T(a_5) = (1/√π)sin(2(x + θ)) = (1/√π)(sin 2x cos 2θ + cos 2x sin 2θ)
= a_5 cos 2θ + a_4 sin 2θ

ということは T で
(1, 0, 0, 0, 0)→(1, 0, 0, 0, 0),
(0, 1, 0, 0, 0)→(0, cos θ, -sin θ, 0, 0),
(0, 0, 1, 0, 0)→(0, sin θ, cos θ, 0, 0),
(0, 0, 0, 1, 0)→(0, 0, 0, cos 2θ, -sin 2θ)
(0, 0, 0, 0, 1)→(0, 0, 0, sin 2θ, cos 2θ)
という変換を起こしているということだ。
だから行列で書くと (左右の括弧を省略)
------------------------
1　  0 　 0  　　0  　0
0　cosθ sinθ 　0 　 0
0 -sinθ cosθ　 0 　 0
0 　 0 　 0　cos2θ sin2θ
0 　 0 　 0 -sin2θ cos2θ
------------------------
ということになる。