質問＜１０９＞９９／１／４
from=みき
「不等式の証明」

証明が苦手で、冬休みのこの問題に苦戦してます。
証明してもらいたいです。

　　１　　１　　２
  ──＋──≧───
　２ａ　２ｂ　ａ＋ｂ

(打ち込み方よくわからないので、
間があいてしまったけど、一応分数式です。）

お返事９９／１／４
from=武田

不等式の証明で解けないものが出てきたら、大概、相加平均
相乗平均に関するものが多いようです。
この問題も下の公式を使います。
ａ＋ｂ
───≧√（ａｂ）……①
　２
この逆数の公式も使います。
　２　　　　１
───≦─────……②
ａ＋ｂ　√（ａｂ）
さっそく、①と②を利用して証明してみましょう。
　　　　１　　１　ｂ＋ａ　√（ａｂ）
左辺＝──＋──＝───≧─────
　　　２ａ　２ｂ　２ａｂ　　ａｂ
　　　　　１　　　　２
　　＝─────≧───＝右辺
　　　√（ａｂ）　ａ＋ｂ
したがって
左辺≧右辺

お便り９９／１／５
from=まち

失礼とは思いますが以下のことが気になったので。
質問＜１０９＞は相加平均相乗平均使って証明
してありますが、これが使えるのはａ≧０、ｂ≧０
の時にかぎられるのではないでしょうか？
だから　ａ＜０、ｂ＜０のとき、
ａ＞０、ｂ＜０のとき、（ａ＜０，ｂ＞０のとき）
ａ＞０、ｂ＞０のときの
４つの場合分けが必要ではないのでしょうか？