質問＜１１０８＞２００３／２／７
from=奈津子
「複素数」

複素数１＋ｉ，√３＋ｉをそれぞれ極形式で表し，１＋ｉ／√３＋ｉを求めよ。
ただし，偏角は０°以上３６０°未満とする。
また，ｃｏｓ１５°，ｓｉｎ１５°を求めよ。
次に，(１＋ｉ／√３＋ｉ)＾ｎが実数となる最小の正の整数となるときのｎの値
を求めよ。
さらに，(１＋ｉ／√３＋ｉ)＾１３＋(１－ｉ／√３－ｉ)＾１３を求めよ。

お便り２００３／２／１０
from=phaos

1 + i = (√2)(cos 45°+ i sin 45°),
√3 + i = 2((√3)/2 + i/2) = 2(cos 30° + i sin 30°).
(1 + ｉ)/(√3 + i) = (1/√2)(cos(45 - 30)°+ i sin(45 - 30)°)
= (1/√2)(cos 15° + i sin 15°).
(一方 (1 + ｉ)/(√3 + i) = (1 + ｉ)(√3 - i)/4 
= (√3 + 1 + (√3 - 1)i)/4)

15n = 180 とすると n = 12.

((1 + ｉ)/(√3 + i))^13 + ((1 - ｉ)/(√3 - i))^13
= (1/√2)^13(cos(13×15)°+ i sin(13×15°) 
　　　　　　　　　　　　　　+ (cos(13×15)°- i sin(13×15)°)
= (1/(2^6・√2))(2cos(180°+ 15°)
= -cos15°/32√2
= -(√3  + 1)(√2)/(4・32√2)
= -(√3  + 1)/128.