質問＜１１１３＞２００３／２／１３
from=たまちゃん
「多項式」

f(x),g(x)をそれぞれ３次、４次のxについての多項式とする。
(1-4x)f(x){1+xf(x)}=1+(X^4)g(x)
の時、f(x)を決定せよ。
できましたら、詳しくお願い致します。

お便り２００３／２／１４
from=phaos

(1 - 4x)f(x)(1 + xf(x)) = 1 + x^4 g(x)
の両辺に x = 0 を代入すると f(0) = 1 が分かる。

両辺を x で微分して x = 0 を代入すると f'(0) の値が分かる。
更に両辺を x で微分して x = 0 を代入すると f''(0) の値が分かる。
同様にして f'''(0) の値を求める。
そうすると deg f(x) = 3 であるから
f(x) = f(0) + f'(0) x + f''(0)x^2/2 + f'''(0) x^3/6
から f(x) を求めることが出来る。

私の計算では
f(x) = 1 + 3x + 10x^2 + 35x^3
になったけれども, あんまり信用しない方がいい。

お便り２００３／２／１４
from=Tetsuya Kobayashi

(1-4*_x)*(35*_x^3+10*_x^2+3*_x+1)*(35*_x^4+10*_x^3+3*_x^2+_x+1)

x=0を代入すると、f(x)の定数項が1であることがわかる。
さて、f(x)=ax^3+bx^2+cx+1と置くと、右辺からわかるように、
左辺において項x^3, x^2, xの係数はどれも0であることから、
(x^3): a-2b+c^2-8c=0
(x^2): b-2c-4=0
(x)  : c-3=0
これを解いて、a=35, b=10, c=3とわかるから、f(x)は、
f(x)=35x^3+10x^2+3x+1 ...(答)
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