質問＜１１３２＞２００３／２／２７
from=opi
「加法定理」

（問１）
次の等式を証明せよ。
COS（α＋β）COS（αーβ）＝COS＾2αーSin＾2β＝
COS＾2βーSin＾2α

（問２）
α、βが第2象限の角のとき、
　　Sinα＝1／3、Cosβ＝-2/5のとき、tan（α+β）
　　を求めよ。

（問３）
α＋β＝45゜のとき、（tanα＋1）×（tanβ＋1）の値を求めよ。

（問４）
tanα＝2のとき　tan2α、tanα／2を求めよ。

（問５）
cos＾2θ―sin＾2（θ＋60゜）＋cos＾2（θ＋120゜）

（問６）
A＋B＋C＝180゜のとき次の等式が成り立つことを証明せよ。
　sin2A＋sin2B＋sin2C＝4sinAsinBsinC

お便り２００３／３／１
from=Tetsuya Kobayashi

(1)
積→和の公式より、
cos(\alpha+\beta)cos(\alpha-\beta)
=(cos(2\alpha)+cos(2\beta))/2
(i)
={(2cos^2(\alpha)-1)+(1-2sin^2(\beta))}/2
=cos^2(\alpha)-sin^2(\beta) 。
(ii)
={(1-2sin^2(\alpha))+(2cos^2(\beta)-1)}/2
=cos^2(\beta)-sin^2(\alpha) 。

(2)
tan^2(\alpha)=(sin^2(\alpha))/(1-sin^2(\alpha))
tan^2(\beta)=(1-cos^2(\beta))/(cos^2(\beta))
また、tan(\alpha)＜0, tan(\beta)＜0 より、
tan(\alpha)=-sqrt(2)/4, tan(\beta)=-sqrt(21)/2 。
tan(\alpha+\beta)
=(tan(\alpha)+tan(\beta))/(1-tan(\alpha)tan(\beta))
=-(50sqrt(2)+18sqrt(21))11 。

(3)
(tan(\alpha)+tan(\beta))/(1-tan(\alpha)tan(\beta))=1
より、tan(\alpha)tan(\beta)+tan(\alpha)+tan(\beta)=1
(tan(\alpha)+1)(tan(\beta)+1)
=tan(\alpha)tan(\beta)+tan(\alpha)+tan(\beta)+1=2 。

(4)
tan(2\alpha)=2tan(\alpha)/(1-tan^2(\alpha))=-4/3 。
tan(\alpha)=2tan(\alpha/2)/(1-tan^2(\alpha/2))=2
tan(\alpha/2)=t とおいて、t^2+t-1=0
t=(-1±sqrt(5))/2 。

(5)
1/2 。
(加法定理で分解して整理すれば出ます。)

(6)
A+B+C=#pi より、
4sinAsinBsinC
=4sinAsinBsin(A+B)
=4(sin^2(A)sinBcosB+sin^2(B)sinAcosA)
=2(sin^2(A)sin(2B)+sin^2(B)sin(2A))
=(1-cos(2A))sin(2B)+(1-cos(2B))sin(2A)
=sin(2A)+sin(2B)-(sin(2A)cos(2B)+cos(2A)sin(2B))
=sin2A+sin2B-sin(2A+2B)
=sin(2A)+sin(2B)+sin(2C) 。