質問＜１１３８＞２００３／３／２
from=るん
「加法定理」

（1）Ａ＝60゜である△ＡＢＣにおいて次の式のとりうる値の範囲を求めよ。
　　sinＢsinＣ

（2）0゜≦θ＜360゜のとき　sin3θ＋cos2θ－sinθ－1＝0
　　を解け。

（3）関数ｙ＝ａsinθ＋ｂcosθはθ＝30゜のとき最大値をとり、
　　また、最小値は－5である。ａ、bの値を求めよ。

お返事２００３／３／３
from=武田

（問１）
Ｂ＋Ｃ＝１８０°－Ａ＝１２０°cos（Ｂ＋Ｃ）＝cos１２０°＝-1/2
積を和・差に直す変形より、
sinＢsinＣ＝-1/2｛cos（Ｂ＋Ｃ）－cos（Ｂ－Ｃ）｝
　　　　　＝-1/2｛-1/2－cos（１２０°－２Ｃ）｝
　　　　　＝1/4＋1/2cos（２Ｃ－１２０°）
０°＜Ｃ＜１２０°より、
－１２０°＜２Ｃ－１２０°＜１２０°
-1/2＜cos（２Ｃ－１２０°）≦１
-1/4＜1/2cos（２Ｃ－１２０°）≦1/2
０＜1/4＋1/2cos（２Ｃ－１２０°）≦3/4
∴０＜sinＢsinＣ≦3/4………（答）

（問２）
０°≦θ＜３６０°
sin３θ＋cos２θ－sinθ－１＝０
２，３倍角の公式より、
（３sinθ－４sin^3θ）＋（１－２sin^2θ）－sinθ－１＝０
－４sin^3θ－２sin^2θ＋２sinθ＝０
２sin^3θ＋sin^2θ－sinθ＝０
sinθ（２sin^2θ＋sinθ－１）＝０
sinθ（２sinθ－１）（sinθ＋１）＝０
sinθ＝０より、θ＝０°，１８０°
２sinθ－１＝０より、θ＝３０°，１５０°
sinθ＋１＝０より、θ＝２７０°
∴θ＝０°，３０°，１５０°，１８０°，２７０°………（答）

（問３）
ｙ＝ａsinθ＋ｂcosθ
　＝√（ａ^2＋ｂ^2）sin（θ＋α）
ただし、cosα＝ａ／√（ａ^2＋ｂ^2）
　　　　sinα＝ｂ／√（ａ^2＋ｂ^2）

最大値を取るのが、θ＝３０°だから、
θ＋α＝９０°より、α＝６０°最小値が－５より、
－√（ａ^2＋ｂ^2）＝－５
√（ａ^2＋ｂ^2）＝５

したがって、
cos６０°＝ａ／５より、ａ＝５・（１／２）＝5/2
sin６０°＝ｂ／５より、ｂ＝５・（√３／２）
　　　　　　　　　　　　　＝（５√３）／２　………（答）