質問

正四面体Tと半径１の球面Sとがあって、
Tの６つの辺がすべてSに接しているという。
Tの１辺の長さを求めよ。

お便り２００３／３／４
from=phaos


よく考えると, この時 T の対辺 (ねじれの位置になっているもの)
の中点同士を結んだ線が, S の直径であることが分かる。
T の一辺を 2a とすると
図の青い線が長さ 2.
黒の太い線が (正三角形の高さだから) a√3 という長さである。
青い線は (S の直径だから) T の各辺と垂直に交わる。
従って黄色で塗った三角形は直角三角形で
三平方の定理から
4 + a^2 = 3a^2.
a > 0 だから解くと a = √2
従って T の一辺の長さは 2a = 2√2.