質問＜１１９＞９９／１／２９
from=まち
「複雑な積分の省略」

　β
∫　（ｘ－α）＾m（β－ｘ）^n　ｄｘ
　α
　　　　ｍ！ｎ！
＝　――――――――（β－α）＾（m+n+1)
　　（ｍ＋ｎ＋１）！

を以前に習ったことがあり、これに
（ｘ－γ）も加わった式も見たような気がします。
ということは、
このような公式を一般化したものがあるのではないか
と思い、質問した次第です。
　β
∫　（ｘ－α）^ａ（ｘ－β）^ｂ（ｘ－γ）^ｃ・・・ｄｘ
　α

を簡単にした式はあるのでしょうか？

お返事９９／２／３
from=武田

部分積分と漸化式を使う積分の応用問題に同じのがありまし
た。
　β
∫　（ｘ－α）m（β－ｘ）n　ｄｘ＝Ｉm,nとおく。
　α
　　　　（ｘ－α）m+1　　　　　　　β
Ｉm,n＝【──────・（β－ｘ）n】
　　　　　ｍ＋１　　　　　　　　　α
　　　　　　β　（ｘ－α）m+1
　　　　－∫　───────・ｎ（β－ｘ）n-1・（－１）　ｄｘ
　　　　　　α　　ｍ＋１
　　　　　　ｎ　　β
　　＝０＋───∫　（ｘ－α）m+1（β－ｘ）n-1　ｄｘ
　　　　　ｍ＋１　α
　　　　ｎ
　　＝───・Ｉm+1,n-1
　　　ｍ＋１
したがって、漸化式より
　　　　ｎ
Ｉm,n＝───・Ｉm+1,n-1
　　　ｍ＋１
　　　　ｎ　　ｎ－１
　　＝───・───・Ｉm+2,n-2
　　　ｍ＋１　ｍ＋２
　　　　ｎ　　ｎ－１　ｎ－２　　　　　１
　　＝───・───・───・……・───・Ｉm+n,0
　　　ｍ＋１　ｍ＋２　ｍ＋３　　　　ｍ＋ｎ
　　　　ｎ！ｍ！　　　β
　　＝──────・∫　（ｘ－α）m+n　ｄｘ
　　　（ｍ＋ｎ）！　　α
　　　　ｎ！ｍ！　　　（ｘ－α）m+n+1　　β
　　＝──────・【────────】
　　　（ｍ＋ｎ）！　　　ｍ＋ｎ＋１　　　α
　　　　ｎ！ｍ！　　　（β－α）m+n+1
　　＝──────・───────
　　　（ｍ＋ｎ）！　　ｍ＋ｎ＋１
　　　　　ｎ！ｍ！
　　＝────────・（β－α）m+n+1
　　　（ｍ＋ｎ＋１）！
以上より、求められる。
これの一般化は、ベータ関数の方にでているんじゃないかと
同僚は言っているのだが……

お便り２００３／６／２６
from=Tetsuya Kobayashi

ありません。よく考えてください。
積分区間は \alpha から \beta なのに、
それと関係のない \gamma が入ってくれば
きれいになるはずがありません。