質問<119>99/1/29
β ∫ (x-α)^m(β-x)^n dx α m!n! = ――――――――(β-α)^(m+n+1) (m+n+1)! を以前に習ったことがあり、これに (x-γ)も加わった式も見たような気がします。 ということは、 このような公式を一般化したものがあるのではないか と思い、質問した次第です。 β ∫ (x-α)^a(x-β)^b(x-γ)^c・・・dx α を簡単にした式はあるのでしょうか?
お返事99/2/3
from=武田
部分積分と漸化式を使う積分の応用問題に同じのがありまし た。 β ∫ (x-α)m(β-x)n dx=Im,nとおく。 α (x-α)m+1 β Im,n=【──────・(β-x)n】 m+1 α β (x-α)m+1 -∫ ───────・n(β-x)n-1・(-1) dx α m+1 n β =0+───∫ (x-α)m+1(β-x)n-1 dx m+1 α n =───・Im+1,n-1 m+1 したがって、漸化式より n Im,n=───・Im+1,n-1 m+1 n n-1 =───・───・Im+2,n-2 m+1 m+2 n n-1 n-2 1 =───・───・───・……・───・Im+n,0 m+1 m+2 m+3 m+n n!m! β =──────・∫ (x-α)m+n dx (m+n)! α n!m! (x-α)m+n+1 β =──────・【────────】 (m+n)! m+n+1 α n!m! (β-α)m+n+1 =──────・─────── (m+n)! m+n+1 n!m! =────────・(β-α)m+n+1 (m+n+1)! 以上より、求められる。 これの一般化は、ベータ関数の方にでているんじゃないかと 同僚は言っているのだが……
お便り2003/6/26
from=Tetsuya Kobayashi
ありません。よく考えてください。 積分区間は \alpha から \beta なのに、 それと関係のない \gamma が入ってくれば きれいになるはずがありません。