質問＜１２１＞９９／２／４
from=まち
「複素数の微分積分」

ふと気になったのですが・・・
複素数の微分積分というのはあるんでしょうか？

お返事９９／２／５
from=武田

複素関数論に出ていることを同僚の三野先生（今年度で定年
退職。残念！）から聞きました。私も初めての計算です。

ガウス平面上の点Ａから点Ｂにいたる曲線Ｃの上に存在する
複素関数ｆ（ｚ）ただしｚ＝ｘ＋ｙｉ∈Ｃ
は、線積分∫cｆ（ｚ）ｄｚが可能である。

例えば、曲線Ｃを下図のようにとり、複素関数を
ｆ（ｚ）＝ｚ2とすると、

Ａ（０）Ｂ（１＋ｉ）より、直線ＡＢ上の点はｘ＝ｙより、
ｚ＝ｘ＋ｙｉ＝ｘ＋ｘｉ＝（１＋ｉ）ｘ
ｄｚ＝（１＋ｉ）ｄｘ
ｆ（ｚ）＝ｚ2
　　　　＝（ｘ＋ｙｉ）2
　　　　＝ｘ2＋２ｘｙｉ－ｙ2
　　　　＝（ｘ2－ｙ2）＋２ｘｙｉ
　　　　＝０＋２ｘ2ｉ
　　　　＝２ｘ2ｉ
したがって
　1+i　　　　　　　1+i
∫　ｆ（ｚ）ｄｚ＝∫　２ｘ2ｉ（１＋ｉ）ｄｘ
　0　　　　　　　　0
　　　　　　　　　　　　　　　　　1+i
　　　　　　　　＝２ｉ（１＋ｉ）∫　ｘ2ｄｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1+i
　　　　　　　　＝２ｉ（１＋ｉ）【ｘ3／３】
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0
　　　　　　　　＝２ｉ（１＋ｉ）（１＋ｉ）3／３
　　　　　　　　＝２ｉ（１＋ｉ）4／３
　　　　　　　　＝－８ｉ／３……（答）