質問＜１２６１＞２００３／６／１５
from=エリイ
「指数関数・格子点」

前回はありがとうございました。またお願いします。

不等式y≦２^xの表す領域において、ｘ座標、ｙ座標が共に自然数
となる点（格子点）の個数について考える。
（１）３≦ｘ≦６の範囲の、この点の個数を求めよ。
（２）ｎ≦ｘ≦ｎ＋３の範囲の、この点の個数を求めよ。
（３）1≦ｘ≦□の範囲では、この点の個数は５１０である。
　　【□に当てはまる数字を求める】

特に、不等式y≦２^xの表す領域はどのように図示すればよいのか
教えてください。お願いします。

お返事２００３／６／１８
from=武田

（１）
ｆ（ｘ）＝２^x　に、ｘ＝３，４，５，６を代入して、
ｆ（３）＝８、ｆ（４）＝１６、ｆ（５）＝３２、ｆ（６）＝６４
ｙ≦２^x　となる格子点（ｘ，ｙ座標とも自然数の場合）の総数は、
８＋１６＋３２＋６４
＝２^3＋２^4＋２^5＋２^6
＝２^3（１＋２＋２^2＋２^3）

　２^3（２^4－１）
＝――――――――
　　　２－１

＝８（１６－１）
＝８×１５
＝１２０個　………（答）

（２）
２^n＋２^(n+1)＋２^(n+2)＋２^(n+3)
＝２^n（１＋２＋２^2＋２^3）

　２^n（２^4－１）
＝――――――――
　　　２－１

＝２^n（１６－１）
＝１５・２^n　………（答）

（３）
２^1＋２^2＋………＋２^n＝５１０
２^1｛１＋２＋………＋２^(n-1)｝＝５１０

２^1（２^n－１）
――――――――＝５１０
　　２－１

２^n－１＝２５５
２^n＝２５６＝２^8
∴ｎ＝８………（答）