質問＜１２７３＞２００３／６／２０
from=大大lovelove
「四面体の体積」

四面体の体積を座標xa,xb,xc,xd,ya,yb,yc,yd,za,zb,zc,zdを
使って導きたい。一番簡単な方法を知りたい。。

お便り２００３／６／２３
from=juin

４つの頂点の座標をA(xa,ya,za),B(xb,yb,zb),C(xc,yc,zc),D(xd,yd,zd)
とする。
ベクトルを成分で表す。AB=(xb-xa,yb-ya,zb-za),
AC=(xc-xa,yc-ya,zc-ca),AD=(xd-xa,yd-ya,zd-za)
△ABCの面積は、△ABC=(1/2)|AB×AC|ここで、AB×ACは外積を表す。
△ABCとADの作る角をθとすると、体積は(1/3)△ABC×|AD|×sinθ
AB×ACは、△ABCに垂直なので、AB×ACとADの作る角φは、φ=π/2-θ
だから、体積は(1/6)(|AB×AC|ADcosφ)=(1/6)(|AB×AC|・AD)となる。
AB,AC,ADが左手系をなすときは、負の値をとるので絶対値を考える。