質問＜１３４２＞２００３／８／３
from=数学に困る人
「三角方程式」

0°≦x＜360°のとき、次の方程式を解け

sin(x)+sin(3x)+sin(5x)=cos(x)+cos(3x)+cos(5x)

さまざまな変形を試みてみましたが、まったく答に導けませんでした。
どうかよろしくお願いします。

お便り２００３／８／４
from=Tetsuya Kobayashi

(左辺)-(右辺) = sqrt(2)sin(3x-π/4)(2cos(x)-1)(2cos(x)+1).
したがって、
x = π/12, π/3, 5π/12, 2π/3, 3π/4, 13π/12, 4π/3, 
　　17π/12, 5π/3, 7π/4.

お便り２００３／８／９
from=ｄ３

武田先生，お久しぶりです．ｄ３です．
お元気でしょうか？どうぞ，お身体を大切になさってください．
台風がくるというので，寝付けず，久しぶりに解答したいと思います．

x＋5x＝3x×2に注意して，
sin(x)＝sin(3x－2x)＝sin(3x)cos(2x)－cos(3x)sin(2x)，
sin(5x)＝sin(3x＋2x)＝sin(3x)cos(2x)＋cos(3x)sin(2x)．
よって，左辺は，
　sin(x)＋sin(3x)＋sin(5x)
＝｛sin(x)＋sin(5x)｝＋sin(3x)
＝2sin(3x)cos(2x)＋sin(3x)
＝sin(3x)｛2cos(2x)＋1｝．
また，
cos(x)＝cos(3x－2x)＝cos(3x)cos(2x)＋sin(3x)sin(2x)，
cos(5x)＝cos(3x＋2x)＝cos(3x)cos(2x)－sin(3x)sin(2x)．
よって，右辺は，
　cos(x)＋cos(3x)＋cos(5x)
＝｛cos(x)＋cos(5x)｝＋cos(3x)
＝2cos(3x)cos(2x)＋cos(3x)
＝cos(3x)｛2cos(2x)＋1｝．
つまり，
sin(3x)｛2cos(2x)＋1｝＝cos(3x)｛2cos(2x)＋1｝
｛sin(3x)－cos(3x)｝｛2cos(2x)＋1｝＝0．
（１）sin(3x)－cos(3x)＝0のとき，tan(3x)＝0．
　0°≦x＜360°なので，0°≦3x＜(360×3)°．
　3x＝45°，225°，405°，585°，765°，945°．
　x＝15°，75°，135°，195°，255°，315°．
（２）2cos(2x)＋1＝0のとき，cos(2x)＝－1/2．
　0°≦x＜360°なので，0°≦2x＜(360×2)°．
　2x＝120°，240°，480°，600°．
　x＝60°，120°，240°，300°．
この（１），（２）を併せたものが答えとなります．

ところで，こんなアイデアでは，上手？に解けるのでしょうか？
z＝cos(x)＋ｉsin(x)として，w＝z＋z^3＋z^5とおくと，
　cos(x)＋cos(3x)＋cos(5x)＝wの実数部分，
　sin(x)＋sin(3x)＋sin(5x)＝wの虚数部分．
これから，w＝r(1＋ｉ)　(r：実数)とおけるワケです．
正確には，以下のように示せると思います：
複素数αの複素共役をα’と表すと，
(w－w’)/ｉ＝w＋w’
w－w’＝(w＋w’)ｉ
w(1－ｉ)＝w’(1＋ｉ)
w(1－ｉ)＝｛w(1－ｉ)｝’
これから，w(1－ｉ)＝r(r：実数)となります．
となると，
｛　z^5＋z^3＋z＝r(1＋ｉ)
｛　｜z｜＝1
この連立方程式を解けばいいことになりますが，・・・．
いかがでしょうか？