質問＜１３５１＞２００３／８／１２
from=sakura
「パップス・ギュルダンの定理」

パップス・ギュルダンの定理の定理の証明の仕方を教えて下さい。

お返事２００３／８／１９
from=武田

回転体の体積＝重心の移動距離×面積
Ｖ＝ＬＳ
　＝２πＲ・Ｓ

パップス・ギュルダンの定理とは、回転体の体積を
重心を利用して求める方法である。
その定理の証明はどうやるのでしょうか？

お便り２００３／８／２１
from=Tetsuya Kobayashi

図形を y 軸周りに回転させたときの体積は V=2π∫[a..b]xl(x)dx である。
(これはいわゆるバウムクーヘン積分です。証明は省略します。)
ところで、図形の y=c 周りのモーメントが 0 であることから、
∫[a..b](c-x)l(x)dx=0 すなわち ∫[a..b]xl(x)dx=c∫[a..b]l(x)dx。
(小学校で習った、(重さ)*(うでの長さ)というアレです。)
よって V=2πc∫[a..b]l(x)dx で、∫[a..b]l(x)dx は図形の面積 S だから、
V=2πcS となり、題意は証明された。