質問＜１３７１＞２００３／８／２８
from=セガール大好き
「恒等式・割り算の問題」

xの整式を（ｘ－１）^2および（X＋１）＾２で割った時のあまりが
それぞれ2X－１、3X－４であるとき
ｆ（ｘ）を（X＋１）＾２（X＋１）で割った時のあまりがわかりません。
よろしくお願いします

お便り２００３／８／３０
from=下野哲史

ｆ（ｘ）を（X＋１）＾２（X＋１）で割った時のあまりではなく
（X＋１）＾２（X-１）で割ったときの余りでは？

f(x)=(x-1)^2 × P(x) + (2x-1) より f(1)=1
f(x)=(x+1)^2 × Q(x) +(3x-4) より f(-1)=-7
(x+1)^2(x-1) が３次式であるから　(x+1)^2(x-1) で割ったときの余りは 
２次式である。この余りを g(x) とすると、
f(x)=(x+1)^2(x-1) × R(x) +g(x) また、f(1)=1 より g(1)=1
であるが、 (x+1)^2(x-1) × R(x) の部分は (x+1)^2 で割り切れるため
g(x) は (x+1)^2 で割ると、 3x-4 余るはず。
( f(x) が (x+1)^2 で割ると 3x-4 余るから)
g(x) は先に述べたように２次式であるから
g(x)=a(x+1)^2+3x-4
g(1)=1 より 1=a(1+1)^2+3-4
これを解いて a=1/2
よって余り g(x)=1/2(x+1)^2+3x-4 = 1/2 x^2 + 4 x + 15/4
こんなかんじで。
(x-1)^2(x+1) で割ったときの余りでも、同じようにして出来ますね。

もし (x+1)^2(x+1) が本当だったとしても、同様にして考えてみてください。
計算間違えしてたらすみません。論理の展開のみをご参照下さい。