質問＜１３８６＞２００３／９／８
from=愛機真チャン
「またMaclaurin展開について」

次の関数f(x)をMaclaurinの定理により展開し、剰余項を示せ。
（１）1/√（1－x）｛ルート１マイナスｘ｝
（２）aのx乗（３）ｅ＾ｘcosx{ｅのｘ乗コサインｘ}

お願いします。

お返事２００３／９／１３
from=武田

（１）
マクローリン展開は、
　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ^2・ｆ”（０）
ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋ｘｆ´（０）＋────────＋………
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２！
の形をとります。
剰余項は、
　　　　　ｘ^(n+1)・ｆ^(n+1)（ξ）
Ｒ（ｘ）＝────────────　ただし、０＜ξ＜ｘ
　　　　　　　（ｎ＋１）！

　　１　　　　　　１　　３　　　　５
──────＝１＋─ｘ＋─ｘ^2＋──ｘ^3＋………
√（１－ｘ）　　　２　　８　　　１６

　　　　　（２ｎ－１）！！
Ｒ（ｘ）＝────────・ｘ^n・（１－ξ）^(-1/2-n)
　　　　　　２^n・ｎ！

（２ｎ－１）！！は二重階乗と言う。
　　　　奇数の時は、５！！＝５・３・１＝１５
　　　　偶数の時は、４！！＝４・２＝８

（２）
　　　　　　　　　　　　（ｌｏｇａ）^2
ａ^x＝１＋ｌｏｇａ・ｘ＋────────・ｘ^2＋………
　　　　　　　　　　　　　　２！

　　　　　ａ^ξ（ｌｏｇａ）^n
Ｒ（ｘ）＝──────────・ｘ^n
　　　　　　　　ｎ！

（３）
　　　　　　　　　　　　１　　　１
ｅ^x・ｃｏｓｘ＝１＋ｘ－─ｘ^3－─ｘ^4＋………
　　　　　　　　　　　　３　　　６


剰余項は、ｎによって変化するので、定められない。