質問＜１３８８＞２００３／９／８
from=HERO
「因数定理の問題」

「整式P(x)を(x-1)2乗で割ると2x-3あまり、x-2で割ると割り切れる、
P(x)を(x-1)2乗(x-2)で割った時のあまりを求めよ。」と言う問題で、
解答を見ると、
「商をQ(x)とすると、P(x)=(x-1)2乗(x-2)Q(x)+a(x-1)2乗+2x-3とお
ける」とあるんですが、余りの部分がどうして「a(x-1)2乗+2x-3」に
なるのか判りません。教えてくださいm(_ _)m

お返事２００３／９／１２
from=武田

Ｐ（ｘ）＝（ｘ－１）^2・Ｑ１（ｘ）＋（２ｘ－３）
　　　　＝（ｘ－１）^2・（ｘ－２）Ｑ３（ｘ）＋Ｒ（ｘ）………①
問題の割る式が３次式なので、余りＲ（ｘ）は２次式以下となる。
したがって、Ｒ（ｘ）＝ａ（ｘ－１）^2＋（２ｘ－３）
これは、２次式Ｒ（ｘ）を２次式（ｘ－１）^2で割ったとき、商がａ（定数）、
余りが（２ｘ－３）になるから。

（ｘ－２）で割り切れるから、
Ｐ（ｘ）＝（ｘ－２）Ｑ２（ｘ）より、
ｘ＝２を代入すると、
Ｐ（２）＝０………②

①にｘ＝２を代入して、
Ｐ（２）＝０＋Ｒ（２）
　　　　＝ａ（２－１）^2＋（２・２－３）
　　　　＝ａ＋１
②より、
ａ＋１＝０∴ａ＝－１

したがって、
Ｒ（ｘ）＝－（ｘ－１）^2＋（２ｘ－３）
　　　　＝－ｘ^2＋２ｘ－１＋２ｘ－３
　　　　＝－ｘ^2＋４ｘ－４………（答）