質問＜１４１９＞２００３／９／２５
from=optnet
「ガウス関数で」

初めて投稿させていただきます．
以前にもガウス関数の質問がありましたので，
ここでも質問させていただきます．

今分からないのが
∫exp(ax^2+bx)dxの積分範囲-∞～∞
と
∫exp(ax^2+ibx)dxの積分範囲-∞～∞
です．
これらのどのようにして解くのでしょう．
bの項がなければ
そのままのガウス関数の公式で解くことができるのですが

お便り２００３／９／２６
from=juin

２次関数の平方完成を使います。
ax^2+bx=a(x+b/(2a))^2-b^2/(4a)だから、
exp(ax^2+bx)=exp(a(x+b/(2a))^2)exp(-b^2/(4a))
t=x+b/(2a)とすれば、積分できます。
次に
ax^2+ibx=a(x+ib/(2a))^2+b^2/(4a)だから、
exp(ax^2+bx)=exp(a(x+ib/(2a))^2)exp(b^2/(4a))
z=x+ib/(2a)として、変数変換します。
積分経路を考慮しながら、コーシーの積分定理を使えば計算できます。