質問＜１４２８＞２００３／９／２９
from=ももっち
「3次方程式」

pを定数とする。xの４次方程式x^4+px^3-6x^2-px+1=0の一つの解をαと
するとき、他の解をαの有理式で表せ。ここで、有理式とは整式と分数式
（定数でない整式での除法を含む式）をあわせたものである。

x-αで左辺を割って、（余り）＝０からｐをαの式で表して左辺を割って
出てきた3次方程式にこのpを代入すると、
(α^3-α)x^3＋(5α^2-1)x^2-α(α^2-5)x－(α^2-1)=0という3次方程式が
出てきました。それで、これを何とか解けないかと頑張ってみましたが、
どうにも解けそうにありません。この方針自体がまずいのでしょうか。
それと、友達に聞いたところ「この4次方程式は相反方程式だ」と言われた
のですが、xの係数pに－がついていますが、これも相反方程式というの
でしょうか。
よろしくお願いします。

お便り２００３／９／３０
from=Tetsuya Kobayashi

結論を書けば、
x = α, -1/α, (-2α±(α^2+1))/(α^2-1)
が四つの根です。まず、x=α が根ならば、x=-1/α も根であることは明白。
あとは、根と係数の関係から他の二根を求めると上のようになります。