質問<1428>2003/9/29
pを定数とする。xの4次方程式x^4+px^3-6x^2-px+1=0の一つの解をαと するとき、他の解をαの有理式で表せ。ここで、有理式とは整式と分数式 (定数でない整式での除法を含む式)をあわせたものである。 x-αで左辺を割って、(余り)=0からpをαの式で表して左辺を割って 出てきた3次方程式にこのpを代入すると、 (α^3-α)x^3+(5α^2-1)x^2-α(α^2-5)x-(α^2-1)=0という3次方程式が 出てきました。それで、これを何とか解けないかと頑張ってみましたが、 どうにも解けそうにありません。この方針自体がまずいのでしょうか。 それと、友達に聞いたところ「この4次方程式は相反方程式だ」と言われた のですが、xの係数pに-がついていますが、これも相反方程式というの でしょうか。 よろしくお願いします。
お便り2003/9/30
from=Tetsuya Kobayashi
結論を書けば、 x = α, -1/α, (-2α±(α^2+1))/(α^2-1) が四つの根です。まず、x=α が根ならば、x=-1/α も根であることは明白。 あとは、根と係数の関係から他の二根を求めると上のようになります。