質問＜１４３０＞２００３／９／２９
from=ませませ
「積分の質問」

関数　f（x）＝∫(x+1→x) (t3-t) dt   の極値の求め方を
教えてください　　　　（※ｔ3はｔの3乗）

お便り２００３／１０／２
from=phaos

f(x) = ∫_(x+1)^0 (t^3 - t)dt + ∫_0^(x + 1) (t^3 - t)dt
= -∫_0^(x + 1) (t^3 - t)dt + ∫_0^x (t^3 - t)dt
より
f'(x) = -((x + 1)^3 - (x + 1)) + x^3 - x
= -x^3 - 3x^2 - 3x - 1 + x + 1 + x^3 - x
= -3x^2 -3x = -3x(x + 1)
より
x = 0 で極小
f(0) = ∫_1^0 (t^3 - t)dt = [t^4/4 - t^2/2]_1^0
= -(1/4 - 1/2) = 1/4.
x = -1 で極大
f(-1) = ∫_0^(-1)(t^3 - t)dt = [t^4/4 - t^2/2]_0^(-1)
= 1/4 - 1/2 = -1/4.

お便り２００３／１０／２
from=Tetsuya Kobayashi

g(t):=t^3-t と置けば、f'(x)=g(x)-g(x+1)=-3x(x+1).

お便り２００３／１０／２
from=juin

f(x)をxで微分して、増減表を作れば良い。