質問<1438>2003/10/3
複素数平面上で原点Oと異なる点Pをとり、半直線OP上に点QをOP・OQ=1を みたすようにとる。 問1 2点PQを表す複素数をそれぞれZ,Wとする時、WをZバー(Zの共役な 複素数)を用いて表すと?? 問2 点1を通り、虚軸に平行な直線をLとする。PがL上の全ての点を動く とき、Qの軌跡を図示すると??
お便り2003/10/16
from=T.Kobayashi
(1) 半直線条件より、a>0 を用いて w=az と書ける。 OP.OQ=1 すなわち |z||w|=|z||az|=a|z|^2=az(z~)=1 より、a=1/z(z~) だから、 w=az=z/z(z~) = 1/(z~) ...(答) (2) このとき、tを実数として z=1+it と書ける。 w=1/(1-it)=(1+it)/(1+t^2) となるから、xy平面の言葉で書き直せば、 tをパラメタ(実数)として、(x,y)=(1/(1+t^2),t/(1+t^2)) である。 これを x,y で表現するために、tを消去したい。y/x=t となることに注意して、 x=1/(1+t^2)=1/(1+(y/x)^2) すなわち x+y^2/x=1 を得る。 パラメタ表示から分かるように、x=0 となることはないから、両辺にxをかけて x^2+y^2-x=0 すなわち (x-1/2)^2+y^2=(1/2)^2 を得る。ただしxは0ではない。 すなわち、wは「中心 (1/2,0) 半径 1/2 の円周から (0,0) を除いた領域」 に存在し、その領域の任意の点に存在することは、パラメタ表示から明らかである。