質問＜１４４５＞２００３／１０／１１
from=くまのboohさん
「曲線の面積」

f(x)=x^3-4x^2+5xについて、曲線C:y=f(x)と、原点およびX座標が正の異なる
２点で交わる直線L：Y=MXがある。この曲線Cと直線Lで囲まれる２つの部分の
面積が等しい時原点以外の２交点の座標とMの値を求めてください。m(_ _)m

お便り２００３／１０／１６
from=T.Kobayashi

x^3-4x^2+5x=mx の根は、x=0, 2+-sqrt(m-1) だから、
1<m<5 のときに正の異なる2点で交わる。
曲線Cと直線Lとで囲まれる2つの領域は、直線Lの同じ側に来ることはないから、
u:=2+sqrt(m-1) と置いて、I=\int[0..u]f(x)dx=0 であればよい。
F(0)=0となるような f(x) の原始関数 F(x) を選ぶと、
F(x)=(x^2-4x+5-m)(x^2/4-x/3-(3m+1)/12)+(4/3)(1-m)x+(3m+1)(5-m)/12
となる。I=F(u) であるが、u^2-4u+5-m=0 だから、
I=(4/3)(1-m)u+(3m+1)(5-m)/12 である。
これが0に等しくなるようなmを求める。
(4/3)(1-m)(2+sqrt(m-1))+(3m+1)(5-m)/12=0 すなわち、
32(1-m)+(3m+1)(5-m)=-16(1-m)sqrt(m-1) で、両辺を二乗して差を取れば、
(32(1-m)+(3m+1)(5-m))^2-256(m-1)^3=0 である。これを因数分解すると、
(9m-13)(m-5)^3=0 となり、m=13/9 が候補で、これは確かに題意を満たす。
m = 13/9 ...(答)
二交点の座標はmの値を代入して x,f(x) を計算してください。