質問＜１４４７＞２００３／１０／１１
from=カナ
「接線の本数」

よろしくお願いします。

曲線C：y＝x＾３－xがある。
点Pを通るCの接線の本数が３となるようなPの存在範囲は？？

お便り２００３／１０／１６
from=T.Kobayashi

Cの (t,f(t)) における接線は、y=(3t^2-1)x-2t^3 である。
問題の条件は、P(x,y) としたとき、
g(t)=(3t^2-1)x-2t^3-y=0 が異なる3つの実根を持つということ。
g(t) は3次式なので、極大値および極小値が存在し、
かつその積が負になることが必要十分。
g'(t)=-6t(t-x) だから、xが0でなければ極大値および極小値が存在する。
そしてその積は
g(0)g(x)=(-x-y)(x^3-x-y)<0 なので、Pは
「y=-x の下側で、かつ y=x^3-x の上側」、
または「y=-x の上側で、かつ y=x^3-x の下側」
ということになる(境界は含まない)。