質問<1447>2003/10/11
よろしくお願いします。 曲線C:y=x^3-xがある。 点Pを通るCの接線の本数が3となるようなPの存在範囲は??
お便り2003/10/16
from=T.Kobayashi
Cの (t,f(t)) における接線は、y=(3t^2-1)x-2t^3 である。 問題の条件は、P(x,y) としたとき、 g(t)=(3t^2-1)x-2t^3-y=0 が異なる3つの実根を持つということ。 g(t) は3次式なので、極大値および極小値が存在し、 かつその積が負になることが必要十分。 g'(t)=-6t(t-x) だから、xが0でなければ極大値および極小値が存在する。 そしてその積は g(0)g(x)=(-x-y)(x^3-x-y)<0 なので、Pは 「y=-x の下側で、かつ y=x^3-x の上側」、 または「y=-x の上側で、かつ y=x^3-x の下側」 ということになる(境界は含まない)。