質問＜１４８４＞２００３／１１／１６
from=みっくん
「群の証明」

分からない問題が出てきました。どうぞよろしくお願いします。
次の問題です．

Ｘの係数が0でない１次関数全体の集合Ｇは
合成関数を演算として群であることを示せ。

お便り２００３／１２／１０
from=とむ

とむと申します。

未解決問題の方の解答を作りました。
以下のようでいかがでしょうか。

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１演算について閉じている事
２結合法則
３単位元・逆元の存在
を言えばよい。

１
f、g∈G、つまり、
f(x)=ax+b、g(x)=cx+d（a≠0、c≠0）とすると、
f(g(x))=acx+ad+bであり、ac≠0
よって、f・g∈G

２
(f・g)(h(x))=f(g・h(x))を示せばよい。
h(x)=ex+iとおくと、
(f・g)(h(x))=ac(ex+i)+ad+b=acex+aci+ad+b
f(g・h(x))=f(cex+ci+d)=a(cex+ci+d)+b=acex+aci+ad+b
よって、f・(g・h)=(f・g)・h

３
k(x)=xとおけば、
∀f∈Gに対し、f・k(x)=k・f(x)=f(x)
よって、k(x)は単位元。

f(x)=ax+bに対して、
g(x)=(1/a)x-b/aとおくと、
f(g(x))=a((1/a)x-b/a)+b=x
g(f(x))=(1/a)(ax+b)-b/a=x
よって、逆元は存在する。

以上より、Ｇは群をなす。