質問<1484>2003/11/16
分からない問題が出てきました。どうぞよろしくお願いします。 次の問題です. Xの係数が0でない1次関数全体の集合Gは 合成関数を演算として群であることを示せ。
お便り2003/12/10
from=とむ
とむと申します。 未解決問題の方の解答を作りました。 以下のようでいかがでしょうか。 - - - - - - - - - - - - - - - 1演算について閉じている事 2結合法則 3単位元・逆元の存在 を言えばよい。 1 f、g∈G、つまり、 f(x)=ax+b、g(x)=cx+d(a≠0、c≠0)とすると、 f(g(x))=acx+ad+bであり、ac≠0 よって、f・g∈G 2 (f・g)(h(x))=f(g・h(x))を示せばよい。 h(x)=ex+iとおくと、 (f・g)(h(x))=ac(ex+i)+ad+b=acex+aci+ad+b f(g・h(x))=f(cex+ci+d)=a(cex+ci+d)+b=acex+aci+ad+b よって、f・(g・h)=(f・g)・h 3 k(x)=xとおけば、 ∀f∈Gに対し、f・k(x)=k・f(x)=f(x) よって、k(x)は単位元。 f(x)=ax+bに対して、 g(x)=(1/a)x-b/aとおくと、 f(g(x))=a((1/a)x-b/a)+b=x g(f(x))=(1/a)(ax+b)-b/a=x よって、逆元は存在する。 以上より、Gは群をなす。