質問<1508>2003/12/4
△ABCの辺ABの中点をMとし、 辺BC、CAを1辺として三角形の外側に正方形BCDE、ACFGをつくると、 MC=1/2DFかつMC⊥DFであることを、 証明してください。 よろしくお願いします。
お便り2003/12/5
from=petit
Mを原点とする直交座標系を取ります(以下MをOに置きかえることにします)。 a>0、q>0と仮定する。 A(-a,0),B(a,0),C(p,q)とします。 -→ -→ CA=(-a-p,-q),CB=(a-p,-q)であ -→ -→ るので,CF=(-q,a+p),CD=(q,a-p)になります (複素数を使ってCを中心とする±90°の回転を考えるなどしてください。 ちなみに(x,y)を原点中心に±90°回転させると±(-y,x)に移ります)。 -→ -→ -→ 故にDF=CF-CD=(-2q,2p)より, -→ -→ DF・OC=0を得るのでDF⊥OC(問題文中の表現では -→ DF⊥MC) また,|DF|=2|(‐q,p)| -→ =2|(p,q)|=2|OC|より,OC=(1/2)DF (問題文中の表現ではMC=(1/2)DF)