質問<1541>2004/1/4
α、βは複素数で|α|=1とするとき、 1次式f(z)=αZ+βの全体をGとする。 Gの2つの要素f(z)оg(z)=f(g(Z))と定義する。 Gは演算оに関して群になるか。 群の定義に従って答えよ。
お便り2004/1/7
from=juin
f(z)=a1z+b1,g(z)=a2z+b2,h(z)=a3z+b3とする。 (1) g*h(z)=a2(a3z+b3)+b2=a2a3z+(a2b3+b2) |a2a3|=|a2||a3|=1だから、積についてとじている。 (2) f*(g*h)(z)=a1(a2a3z+a2b3+b2)+b1=a1a2a3z+(a1a2b3+a1b2+b1) (f*g)*h(z)=a1a2(h(z))+(a1b2+b1)=a1a2(a3z+b3)+(a1b2+b1) =a1a2a3z+(a1a2b3+a1b2+b1) よって、結合法則が成り立つ。 w=f(z)=a1z+b1とする。 (3) (1/a1)w-b1/a1=zとなる。|1/a1|=1/1=1 よって、逆元f^(-1)(w)=(1/a1)z-b1/a1が存在する。 だから、Gは群になる。