質問＜１５５３＞２００４／１／１７
from=どらすた
「初期値問題」

y"=-y, y(0)=a, y'(0)=b
a=1,b=0で解cos x,  a=0,b=1で解sin xと定義する。
(1)cos^2 x + sin^2 x = 1
(2)cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
   sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
を証明せよ。」
・・・・高校の範囲ではないと思うんですが、よろしくお願いします。

お便り２００４／１／１９
from=juin

f(x)=∫cos(t)dt(0＜t＜x)とおく。
f(0)=0
f'(x)=cos(x),f'(0)=cos(0)=1
f''(x)={cos(x)}',f''(0)=0
f'''(x)={cos(x)}''=-cos(x),f'''(0)=-1
だから、f''(x)=∫{-cos(t)}dt(0＜t＜x)となる。
　　　　　　　=-∫cos(t)dt
              =-f(x)
だから、（線形微分方程式の解の一意性より）
f(x)=sin(x)
{sin(x)}'=cos(x),{cos(x)}'=-sin(x)

(1)
{cos^2(x)+sin^2(x)}'=2cos(x){-sin(x)}+2sin(x)cos(x)=0
だから、cos^2(x)+sin^2(x)=定数
cos^2(0)+sin^2(0)=1+0=1
よって、cos^2(x)+sin^2(x)=1 終

(2)
(d^2/dA^2)cos(A+B)=-cos(A+B),
(d^2/dA^2){cosAcosB-sinAsinB}=-{cosAcosB-sinAsinB}
証明すべき式の左辺も右辺も、A=0のとき、cosB
１階微分の値が、A=0のとき、-sinB
線形微分方程式の解の一意性より
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBとなる。
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBも同様。