質問<1553>2004/1/17
y"=-y, y(0)=a, y'(0)=b a=1,b=0で解cos x, a=0,b=1で解sin xと定義する。 (1)cos^2 x + sin^2 x = 1 (2)cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB を証明せよ。」 ・・・・高校の範囲ではないと思うんですが、よろしくお願いします。
お便り2004/1/19
from=juin
f(x)=∫cos(t)dt(0<t<x)とおく。 f(0)=0 f'(x)=cos(x),f'(0)=cos(0)=1 f''(x)={cos(x)}',f''(0)=0 f'''(x)={cos(x)}''=-cos(x),f'''(0)=-1 だから、f''(x)=∫{-cos(t)}dt(0<t<x)となる。 =-∫cos(t)dt =-f(x) だから、(線形微分方程式の解の一意性より) f(x)=sin(x) {sin(x)}'=cos(x),{cos(x)}'=-sin(x) (1) {cos^2(x)+sin^2(x)}'=2cos(x){-sin(x)}+2sin(x)cos(x)=0 だから、cos^2(x)+sin^2(x)=定数 cos^2(0)+sin^2(0)=1+0=1 よって、cos^2(x)+sin^2(x)=1 終 (2) (d^2/dA^2)cos(A+B)=-cos(A+B), (d^2/dA^2){cosAcosB-sinAsinB}=-{cosAcosB-sinAsinB} 証明すべき式の左辺も右辺も、A=0のとき、cosB 1階微分の値が、A=0のとき、-sinB 線形微分方程式の解の一意性より cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBとなる。 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBも同様。