質問<156>99/6/30
こんにちは。 Aをn次正方行列とし、rank(A)=nとする。 このとき、n次の単位列ベクトルekに対して Ax=ek の解を x=ck とすると、 拡大係数行列|A ek|の簡約化が|E ck| になるのは何故でしょうか? 上の文字について、 ek ・・・ 第k番目の成分が1である単位ベクトル x ・・・ n次の列ベクトル E ・・・ n次単位行列 です。よろしくお願いします。
お返事99/7/2
from=武田
連立方程式 ┌2x+3y-z=11 ┤x-y+2z=-2 └x+2y=5 を行列を使って表すと、 {2 3 -1} {x} {11} {1 -1 2}・{y}={-2} {1 2 0} {z} { 5} 係数行列 {2 3 -1} A={1 -1 2}は、rank(A)=3の3次正方行列 {1 2 0} {11} 3次の列ベクトルek={-2}より、 { 5} 拡大係数行列 {2 3 -1 11} {A ek}={1 -1 2 -2} {1 2 0 5} を掃き出し法で変形して、 {2 3 -1 11} {1 -1 2 -2} {1 -1 2 -2} {1 -1 2 -2}→{2 3 -1 11}→{0 5 -5 15} {1 2 0 5} {1 2 0 5} {0 3 -2 7} {1 -1 2 -2} {1 0 1 1} {1 0 0 3} →{0 1 -1 3}→{0 1 -1 3}→{0 1 0 1} {0 3 -2 7} {0 0 1 -2} {0 0 1 -2} 最後は { 3} {E ck}となり、解x=ck={ 1} {-2} これをn次まで拡張したのが質問ですね。また、列ベクトル のところが、単位列ベクトルになっているだけで差違はあり ません。上の3次の場合で類推して下さい。