質問＜１５６０＞２００４／１／２０
from=新川
「証明問題」

ｘ＞sinｘ＞ｘ－ｘ＾３／６
ただしπ／２＞ｘ＞０を証明せよ。

お便り２００４／１／２２
from=juin

x^2+y^2=1の円周の長さを(1,0)から反時計周りに測ってtとする。
円周上の点P(x,y)に対して、x=cos(t),y=sin(t)とする。
(0,0),(1,0),Pを頂点とする扇形の面積はt/2
(0,0),(1,0),Pを頂点とする三角形の面積はsin(t)/2
扇形は三角形を含むから、t/2>sin(t)/2
よって、t>sin(t)
f(x)=sinx-x+x^3/6とする。
f'(x)=cos(x)-1+x^2/2
f''(x)=-sin(x)+x>0
f'(x)=∫(-sin(t)+t)dt (0＜t＜x)だから
f'(x)>0
f(0)=sin0-0+0^3/6=0だから、f(x)>0
よって、sin(x)>x-x^3/6