質問＜１５６８＞２００４／１／２３
from=フェッセンセン
「最大値M(a)の関数」

a>0とする。
関数f(x)=|x^3-3*a^2*x|の-1≦x≦1における最大値をM(a)とする時
(1)M(a)をaを用いて表せ
(2)M(a)を最小にするaの値を求めよ。

という問題なんですが、

(1)
a＜1の時 M(a)=|1-3a^2|
a>1の時 M(a)=2a^3
という答えでよいでしょうか？

まずf(x),f'(x)をもとめ、因数分解、増減表、図を書く。
ぐらいまでしか、わかっていません。

お便り２００４／２／２
from=こんにちは

a＜1の時 M(a)=|1-3a^2|
a>1の時 M(a)=2a^3
これは違いますね。
では解答を

(1)
f(-x)=|(-x)^3-3a^2(-x)|=|x^3-3a^2x|=f(x)だから
f(x)はy軸に対して対称である。
よって0≦x≦1に対して最大・最小を考えれば十分である。
g(x)＝x^3-3a^2xの
0≦x≦1の最大、最小を求めます。
g'(x)=3(x^2-a^2)

a≧1のとき
g(x)は単調減少である。
g(x)の最大値は、g(0)=0、最小値はg(1)=1-3a^2

０＜a＜1のとき
　　　0　　　　　　a　　　　　　　　　1
g'(x)　　　-　　　　0　　　　+　　
g(x)　0　　減少　-2a^2　　　増加　　1-3a^2

よって
a≦1/√3のとき
g(x)の最大値はg(1)=1-3a^2
g(x)の最小値はg(a)=-2a^2

1＞a＞1/√3のとき
g(x)の最大値はg(1)=1-3a^2
g(x)の最小値はg(a)=-2a^2

よって
0＜a≦1/√3のとき
f(x)=|g(x)|の最大値
f(a)=2a^2、f(1)=1-3a^2
f(a)-f(1)=2a^2-(1-3a^2)=5a^2-1

0＜a≦1/√5のとき
f(a)-f(1)≦0より
M(a)=1-3a^2 

1/√3≧a＞1/√5のとき
f(a)-f(1)＞0より
M(a)=2a^2

1＞a＞1/√3のとき
f(a)=2a^2、f(1)=1-3a^2
f(a)-f(1)=2a^2-(1-3a^2)=5a^2-1＞0だから
M(a)=2a^2

a≧1のとき
M(a)=3a^2-1

まとめると

0＜a≦1/√5のとき
M(a)=1-3a^2

1/√5＜a＜1のとき
M(a)=2a^2

a≧1のとき
M(a)=3a^2-1

(2)　

a≧1のとき、M(a)=3a^2-1≧3-1=2
0＜a＜1のときM(a)≧2/5
よってM(a)の最小値は2/5である。

お便り２００４／２／２
from=T.Kobayashi

(1) 0＜a≦1/2 のとき 1-3a^2
    1/2＜a≦1 のとき 2a^3
    1＜a のとき 3a^2-1
(2) 1/2