質問<1568>2004/1/23
a>0とする。 関数f(x)=|x^3-3*a^2*x|の-1≦x≦1における最大値をM(a)とする時 (1)M(a)をaを用いて表せ (2)M(a)を最小にするaの値を求めよ。 という問題なんですが、 (1) a<1の時 M(a)=|1-3a^2| a>1の時 M(a)=2a^3 という答えでよいでしょうか? まずf(x),f'(x)をもとめ、因数分解、増減表、図を書く。 ぐらいまでしか、わかっていません。
お便り2004/2/2
from=こんにちは
a<1の時 M(a)=|1-3a^2| a>1の時 M(a)=2a^3 これは違いますね。 では解答を (1) f(-x)=|(-x)^3-3a^2(-x)|=|x^3-3a^2x|=f(x)だから f(x)はy軸に対して対称である。 よって0≦x≦1に対して最大・最小を考えれば十分である。 g(x)=x^3-3a^2xの 0≦x≦1の最大、最小を求めます。 g'(x)=3(x^2-a^2) a≧1のとき g(x)は単調減少である。 g(x)の最大値は、g(0)=0、最小値はg(1)=1-3a^2 0<a<1のとき 0 a 1 g'(x) - 0 + g(x) 0 減少 -2a^2 増加 1-3a^2 よって a≦1/√3のとき g(x)の最大値はg(1)=1-3a^2 g(x)の最小値はg(a)=-2a^2 1>a>1/√3のとき g(x)の最大値はg(1)=1-3a^2 g(x)の最小値はg(a)=-2a^2 よって 0<a≦1/√3のとき f(x)=|g(x)|の最大値 f(a)=2a^2、f(1)=1-3a^2 f(a)-f(1)=2a^2-(1-3a^2)=5a^2-1 0<a≦1/√5のとき f(a)-f(1)≦0より M(a)=1-3a^2 1/√3≧a>1/√5のとき f(a)-f(1)>0より M(a)=2a^2 1>a>1/√3のとき f(a)=2a^2、f(1)=1-3a^2 f(a)-f(1)=2a^2-(1-3a^2)=5a^2-1>0だから M(a)=2a^2 a≧1のとき M(a)=3a^2-1 まとめると 0<a≦1/√5のとき M(a)=1-3a^2 1/√5<a<1のとき M(a)=2a^2 a≧1のとき M(a)=3a^2-1 (2) a≧1のとき、M(a)=3a^2-1≧3-1=2 0<a<1のときM(a)≧2/5 よってM(a)の最小値は2/5である。
お便り2004/2/2
from=T.Kobayashi
(1) 0<a≦1/2 のとき 1-3a^2 1/2<a≦1 のとき 2a^3 1<a のとき 3a^2-1 (2) 1/2