質問<1578>2004/2/6
29の33乗を900で割った余りは?
お便り2004/2/6
from=Tetsuya Kobayashi
29 = 30 - 1 900 = 30^2 を利用して、二項式展開により、 (30-1)^33 = (900の倍数) + 33*30 - 1 よって余りは 89 。
お便り2004/2/6
from=こんにちは
29^33=(30-1)^33 二項定理で展開すると (30-1)^33 =∑_[i=0,33](33_C_i)(30)^i*(-1)^(33-i) =∑_[i=2,33](33_C_i)(30)^i*(-1)^(33-i)+33*30-1 i≧2のとき(30)^iは900=(30)^2で割り切れる よって、 ∑_[i=2,33](33_C_i)(30)^i*(-1)^(33-i)+33*30-1 =900*(整数)+989 =900*{(整数)+1}+89 よって29^33を900で割った余りは89である。
お便り2004/2/6
from=wakky
29の33乗を900で割った余りということですが、 29^33=(30-1)^33です。 また900=30^2です。 このあたりに着目して、二項定理を利用してみます。 29^33=(30-1)^33 =33_C_0*30^33+33_C_1*30^32(-1)+33_C_2*30^31(-1)^2+..... ......+33_C_31*30^2(-1)^32+33_C_32*30(-1)^32+33_C_33*(-1)^33 (30^2でくくって) 30^2{33_C_0*30^31+33_C_1*30^30(-1)+33_C_2*30^29(-1)^2+..... ......+33_C_31*(-1)^31}+33_C_32*30(-1)^32+33_C_33*(-1)^33 30^2{ }の部分は900で割り切れます。 つまり残りの33_C_32*30(-1)^32+33_C_33*(-1)^33を計算してみると 33*30*(-1)^32-1=990-1=989 これを900で割ると余りは89となります。