質問<1582>2004/2/9
∫√(1+x^2)dx の解き方を教えてください!
お便り2004/2/10
from=こんにちは
∫√(1+x^2)dx の解法は x+√(1+x^2)=tとおく t-x=√(1+x^2) t^2-2tx-1=0 x=t/2-1/(2t) よって √(1+x^2)=t-x=t-{t/2-1/(2t)}=t/2+1/(2t)=(t^2+1)/(2t) dx={1/2+1/(2t^2)}dt={(t^2+1)/(2t^2)}dt ∫√(1+x^2)dx =∫{(t^2+1)^2}/(4t^3)dt =(1/4)∫(t+2/t+1/t^3)dt =t^2/8+(logt)/2-1/(8t^2) =(t^4-1)/(8t^2)+(logt)/2 置き戻して(t=x+√(x^2+1)でしたね) {2x^4+2x^2+(2x^3+x)√(x^2+1)}/{4x^2+2+4xx√(x^2+1)}+log{x+√(x^2+1)}/2 ={x^4+x^3+x^2+x+(2x^3+x)√(x^2+1)}/{4x^2+2+4x√(x^2+1)} =x√(x^2+1)/2 よって ∫√(1+x^2)dx=x√(x^2+1)/2+log{x+√(x^2+1)}/2+C Cは積分定数
お便り2004/2/10
from=Tetsuya Kobayashi
x = tan(t), sin(t) = u と置換して積分するのが一つの手か。答えは (1/2){log(x+sqrt(1+x^2))+xsqrt(1+x^2)}.
お便り2004/2/10
from=juin
sinh(t)=(exp(t)-exp(-t))/2,cosh(t)=(exp(t)+exp(-t))/2とする。 (d/dt)sinh(t)=cosh(t),(d/dt)cosh(t)=sinh(t) cosh(t)^2-sinh(t)^2=1となる。 ∫√(1+x^2)dxにおいて、x=sinh(t)とする。dx=cosh(t) 積分は、∫{√(1+sinh(t)^2)}cosh(t)dt =∫cosh(t)^2dt =∫{exp(2t)+2+exp(-2t)}/4dt =exp(2t)/2+t/2-exp(-2t)/2+C