質問＜１５８２＞２００４／２／９
from=ジョジョ
「ハイパーボリック？」

∫√(1+x^2)dx の解き方を教えてください！

お便り２００４／２／１０
from=こんにちは

∫√(1+x^2)dx の解法は
x+√(1+x^2)=tとおく
t-x=√(1+x^2)
t^2-2tx-1=0
x=t/2-1/(2t)

よって
√(1+x^2)=t-x=t-{t/2-1/(2t)}=t/2+1/(2t)=(t^2+1)/(2t)
dx={1/2+1/(2t^2)}dt={(t^2+1)/(2t^2)}dt
∫√(1+x^2)dx
=∫{(t^2＋1)^2}/(4t^3)dt
=(1/4)∫(t+2/t+1/t^3)dt
=t^2/8+(logt)/2-1/(8t^2)
=(t^4-1)/(8t^2)+(logt)/2

置き戻して(t=x+√(x^2+1)でしたね)
{2x^4+2x^2+(2x^3+x)√(x^2+1)}/{4x^2+2+4ｘx√(x^2+1)}+log{x+√(x^2+1)}/2
={x^4+x^3+x^2+x+(2x^3+x)√(x^2+1)}/{4x^2+2+4x√(x^2+1)}
=x√(x^2+1)/2

よって
∫√(1+x^2)dx=x√(x^2+1)/2+log{x+√(x^2+1)}/2+C
Cは積分定数

お便り２００４／２／１０
from=Tetsuya Kobayashi

x = tan(t), sin(t) = u
と置換して積分するのが一つの手か。答えは
(1/2){log(x+sqrt(1+x^2))+xsqrt(1+x^2)}.

お便り２００４／２／１０
from=juin

sinh(t)=(exp(t)-exp(-t))/2,cosh(t)=(exp(t)+exp(-t))/2とする。
(d/dt)sinh(t)=cosh(t),(d/dt)cosh(t)=sinh(t)
cosh(t)^2-sinh(t)^2=1となる。
∫√(1+x^2)dxにおいて、x=sinh(t)とする。dx=cosh(t)
積分は、∫{√(1+sinh(t)^2)}cosh(t)dt
=∫cosh(t)^2dt
=∫{exp(2t)+2+exp(-2t)}/4dt
=exp(2t)/2+t/2-exp(-2t)/2+C