質問＜１５９４＞２００４／２／１７
from=ノラ
「不等式と絶対値」

　証明しなさい。
　
  ①（a+b）×（b+c）×（c+a）≧8abc
　　
　上の証明なんですが、解答では相加相乗平均を使って解いてました。
その途中で、３つの不等式の各辺は正だから、辺々をかけ合わせて‥‥
とあるのですが、そこがよく分かりません。教えて下さい。

　②|a+b|≦|a|+|b｜‥‥（1）
　　が成り立つとき

　｜a+b+c｜≦｜a｜+｜b｜+｜c｜‥‥（２）

　　まず（１）のbの代わりにb+cを代入する。
　　とあるのですが、等しくない値を代入しても良いので
　　すか？
　　これはどういう風に考えたら良いのでしょうか？
    ちなみにこれらは解法シリーズからの問題です。
　　詳しく教えて下さい。お願いします。

お返事２００４／２／２５
from=武田

①
相加相乗平均
ａ＋ｂ　　　　　　　　　ｂ＋ｃ　　　　　　　　　ｃ＋ａ
―――　≧　√（ａｂ）、―――　≧　√（ｂｃ）、―――　≧　√（ｃａ）
　２　　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　２

（ア）不等式の不等号は、プラスの値を掛けるときは、変化しない。
　　　マイナスを掛けると、不等号は逆になる。例えば、
　　　不等式３＞２に－４を掛ける。
　　　３×（－４）＜２×（－４）
　　　－１２＜－８
　　　マイナスを掛けると、不等号は逆になる
（イ）ａ，ｂ，ｃ，ｄが正のとき、ａ＞ｂ、ｃ＞ｄならば、ａｃ＞ｂｄ
　　　ａ＞ｂ→ａｃ＞ｂｃ、ｂｃ＞ｂｄ→ａｃ＞ｂｄ
（ウ）右辺が√（　）なので、右辺≧０より、したがって、左辺≧０
以上より、３つの相加相乗平均の不等式を辺々掛けて、
（ａ＋ｂ）　（ｂ＋ｃ）　（ｃ＋ａ）
―――――×―――――×―――――　≧　√（ａｂ）√（ｂｃ）√（ｃａ）
　　２　　　　　２　　　　　２
両辺に８を掛けて、
（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）≧８√（ａｂｃ）^2＝８ａｂｃ

②
公式に代入するという意味です。ｂに異なる値（ｂ＋ｃ）を代入すると言う
意味ではない。
代入するという言葉を誤解してしまうのは、まずいので、次のように
考えると良い。
左辺＝｜ａ＋ｂ＋ｃ｜
　　＝｜ａ＋（ｂ＋ｃ）｜←公式｜ａ＋ｂ｜≦｜ａ｜＋｜ｂ｜より
　　≦｜ａ｜＋｜ｂ＋ｃ｜←公式｜ａ＋ｂ｜≦｜ａ｜＋｜ｂ｜より
　　≦｜ａ｜＋｜ｂ｜＋｜ｃ｜＝右辺