質問<1605>2004/2/21
z+1/z=2cosθ z^6+1/z^6=1のとき 0°≦θ<90°でθの値を求めよ 求め方がわかりません
お便り2004/2/22
from=wakky
z+(1/z)=2cosθ 両辺にzをかけてzに関する二次方程式を解くと z=cosθ±isinθ よってド・モアブルの定理を使って z^6=cos6θ+-isin6θ 1/(z^6)=cos6θ-+isin6θ(複合同順) ゆえに z^6+(1/z^6)=2cos6θ=1 cos6θ=1/2 0≦θ≦90°より0°≦6θ≦540° 6θ=60°、300°、420° ∴θ=10°、50°、70° 合ってるかなぁ???(汗)
お便り2004/2/24
from=wakky
再度投稿します。 |z|=r とおくと z=r(cosθ+i・sinθ)とおけます。 1/z=1/{r(cosθ+i・sinθ)} (分母と分子ににcosθ-i・sinθをかけて) =(cosθ-i・sinθ)/r z+(1/z)={r+(1/r)}cosθ=2cosθ よって r+(1/r)=2 ∴r=1 ド・モアブルの定理より (途中計算省略します) z^6+1/(z^6)=2cos6θ=1 後は前の投稿のとおりです。 こっちの解法の方がいいかもしれません。