質問＜１６０８＞２００４／２／２３
from=makiko
「指数関数」

ｘ＋3ｙ-2=0の時、２のｘ乗＋８のｙ乗の最小値を求めよ。

お便り２００４／２／２４
from=こんにちは

２のｘ乗＋８のｙ乗は2^x+8^yと書けます。
x+3y-2=0よりx+3y=2です。
相加・相乗平均の不等式より
2^x+8^y=2^x+2^(3y)
≧2*√{2^x*2^(3y)}
＝2*√{2^(x+3y)}
=2*√(2^2)
=2*2
=4
等号はx=3yつまりx=1、y=1/3のとき成立します。
よってx=1、y=1/3のとき2^x+8^yは最小値4をとります。

お便り２００４／２／２４
from=wakky

2^x=t 8^y=s とおきます。
x=log(2)t  
y=log(8)s=log(2)s/3log(2)2=(1/3)log(2)s
x+3y=2より
log(2)t+log(2)s=2
つまり
log(2)ts=2
よって
ts=4　s=4/t
2^x+8^y=t+s=t+(4/t)
ここで明らかにt>0 4/t>0 だから
相加平均と相乗平均の関係から
t+(4/t)≧2√(t・4/t)=4
よって最小値は４

あってるでしょうか？？・・（汗