質問<1608>2004/2/23
x+3y-2=0の時、2のx乗+8のy乗の最小値を求めよ。
お便り2004/2/24
from=こんにちは
2のx乗+8のy乗は2^x+8^yと書けます。 x+3y-2=0よりx+3y=2です。 相加・相乗平均の不等式より 2^x+8^y=2^x+2^(3y) ≧2*√{2^x*2^(3y)} =2*√{2^(x+3y)} =2*√(2^2) =2*2 =4 等号はx=3yつまりx=1、y=1/3のとき成立します。 よってx=1、y=1/3のとき2^x+8^yは最小値4をとります。
お便り2004/2/24
from=wakky
2^x=t 8^y=s とおきます。 x=log(2)t y=log(8)s=log(2)s/3log(2)2=(1/3)log(2)s x+3y=2より log(2)t+log(2)s=2 つまり log(2)ts=2 よって ts=4 s=4/t 2^x+8^y=t+s=t+(4/t) ここで明らかにt>0 4/t>0 だから 相加平均と相乗平均の関係から t+(4/t)≧2√(t・4/t)=4 よって最小値は4 あってるでしょうか??・・(汗