質問

次の命題を問いにしたがって証明せよ。ただし、aは整数とする。
「a＾2が3の倍数ならば、aは3の倍数である」
（1）この命題の対偶をいえ。
（2）対偶を証明せよ。

お便り２００４／３／１５
from=こんにちは

(1）aが3で割り切れないならばa^2も3で割り切れない。

(2) aが3で割り切れないならaを3で割った余りは1か2である。

aが3で割り切れないならaを3で割った余りは1のとき
a=3k+1
a^2＝(3k+1)^2=9k^2+6k+1＝3*(3k^2+2k)+1
だからa^2を3で割った余りは1
よって、a^2も3で割り切れない。

aが3で割り切れないならaを3で割った余りは2のとき
a=3k+2
a^2＝(3k+2)^2=9k^2+12k+4＝3*(3k^2+4k+1)+1
だからa^2を3で割った余りは1
よって、この場合もa^2も3で割り切れない。

よって、aが3で割り切れいないとき、a^2も3で割り切れないことが示された。