質問＜１６４＞９９／８／１６
こんにちは。４次元的な球の体積が π^2／２ × ｒ＾4 で与えられるという証明が出来ません。 証明を教えて下さい。 ここでいう体積とは立方のことではなくて 立方のさらに１つ上の単位を指します。 よろしくお願いします。 加えていえば，ｎ次元球の体積と（ｎ＋１）次元球の体積 には何か関係式はあるのでしょうか？
お返事９９／８／１８
from=武田
いろいろな本を探しても（といっても家にある数学の本です が）、４次元の球の体積について載っている本はなく、あき らめかけていたとき、質問＜１６３＞の訂正で使ったハップ スの定理を使ってみようと考えつきました。 Ｖ3 ＿ Ｖ4＝──・２π・ｚ ２ つまり、 ４次元の球の体積Ｖ4は、３次元の球の体積Ｖ3の半分と、重心 ＿ ｚを原点の回りに一回転（２π）したものの積となるから、 ＿ 重心ｚを計算すればよいことになる。 ＿ ｚ＝∫∫∫ ｚ ｄｘｄｙｄｚ ／（Ｖ3／２） Ｄ 半径ａの４次元の球の体積を求めてみよう。 Ｖ4＝２π・∫∫∫ ｚ ｄｘｄｙｄｚ Ｄ √(a2-x2-y2) ＝２π・∫∫【ｚ2／２】ｄｘｄｙ Ｄ 0 ＝π・∫∫(a2-x2-y2)ｄｘｄｙ Ｄ √(a2-x2) ＝π・∫【(a2-x2)ｙ-y3／３】ｄｘ Ｄ －√(a2-x2) ＝π・∫４／３・（a2-x2)3/2 ｄｘ Ｄ π/2 ＝４π／３・∫ ａ4cos4θ ｄθ -π/2 π/2 ＝πａ4／６・∫（２＋４cos２θ＋１＋cos４θ）ｄθ -π/2 ＝（πａ4／６）・（６π／２） ＝（π2／２）・ａ4……（答） 同様の計算をすると、 ５次元の球の体積Ｖ5＝（３２π2／１５）・ａ5 となるが、計算がだんだん面倒くさくなる。 さて、質問の「ｎ次元球の体積と（ｎ＋１）次元球の体積に は何か関係式はあるのでしょうか？」については ＿ Ｖ（ｎ＋１）＝Ｖ（ｎ）／２・２π・Ｇ（ｎ） ぐらいしかわかりません。