質問＜１６７２＞２００４／４／１７
from=素人
「幾何学？」

△ＡＢＣの内部の点Ｋをとる。
ＡＫの延長とＢＣの交点、ＢＫの延長とＣＡの交点、ＣＫの延長とＡＢの交点を
それぞれＰ，Ｑ，Ｒとしたとき、
ＢＰ：ＰＣ＝１：２　　　ＣＱ：ＱＡ＝３：１
であったとする場合、

①ＡＲ：ＲＢを求めよ。

②面積比△ＱＣＫ：△ＰＣＫを求めよ
（①を用いて三角ＡＣＫ：△ＢＣＫを求める）

①②とも図を書くこと。

※この問題がわかりません。
大変申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

お便り２００４／４／２１
from=wakky

線分ＡＰ，ＢＱ，ＣＲは一点（Ｋ）で交わるので、
ポイントはチェバの定理とメネラウスの定理です。

①
△ＡＢＣにおいて、チェバの定理より
（ＡＲ／ＲＢ）×（ＢＰ／ＣＰ）×（ＣＱ／ＡＱ）＝１
ＢＰ：ＰＣ＝１：２，ＣＱ：ＱＡ＝３：１だから
（ＡＲ／ＲＢ）×（１／２）×（３／１）＝１より
ＡＲ／ＲＢ＝２／３
よって　ＡＲ：ＲＢ＝２：３

②
△ＡＢＰにおいてメネラウスの定理より
（ＡＲ／ＲＢ）×（ＢＣ／ＣＰ）×（ＰＫ／ＡＫ）＝１
①よりＡＲ：ＲＢ＝２：３
ＢＰ：ＰＣ＝１：２よりＢＣ：ＣＰ＝３：２
よって
（２／３）×（３／２）×（ＰＫ／ＡＫ）＝１
よってＰＫ：ＡＫ＝１：１となるから
ＡＰ：ＫＰ＝２：１
以上のことから
△ＢＣＫ＝（１／２）△ＡＢＣ　（高さの比）
△ＰＣＫ＝（２／３）△ＢＣＫ　（底辺の比）
よって　△ＢＣＫ＝（１／３）△ＡＢＣ

次に△ＢＣＱにおいてメネラウスの定理より
（ＢＰ／ＰＣ）×（ＣＡ／ＡＱ）×（ＱＫ／ＫＢ）＝１
上と同様にして
ＱＢ：ＱＫ＝３：１
よって△ＡＣＫ＝（１／３）△ＡＢＣ
△ＱＫＣ＝（３／４）△ＡＣＫ＝（１／４）△ＡＢＣ
したがって
△ＱＫＣ：△ＰＣＫ＝３：４・・・・（答）