質問＜１６７９＞２００４／４／２１
from=太郎
「円」

（1）円Оと円О’の方程式をそれぞれx^2+y^2-2y=0,x^2+y^2-4x-4y+4=0とする。
　　傾きが0でない直線Lが円ОとО’の両方に接するとき、
　　直線Lの方程式を求めよ。

ですお願いします。

（2）２つの円x^2+y^2=2,(x-1)^2+(y+1)^2=1の2つの交点を通る円が
　　直線y=xと接するとき、その円の中心と半径を求めよ。

お便り２００４／４／２７
from=山賊

問１
O:x^2+(y-1)^2=1
O':(x-2)^2+(y-2)^2=4
２円の中心を通る直線は
2x-y+1=0　…(1)
O上の点(p,q)における接線の方程式は
px+(q-1)(y-1)=1　…(2)
(1)より(2)は点(-2,0)を通るので
2p+q=0　よって　q=-2p　…(3)
また、p,qはOの方程式を満たすので
p^2+(q-1)^2=1
これに(3)を代入して
p=0,-4/5
p≠0なので　p=-4/5
(3)より　q=8/5
よって接線の方程式は
4x-3y+8=0　…(4)
(4)と(2,2)との距離は2となりO'とも接している
よって(4)が求める接線である

問２
求める円の方程式はkを実数として
(x^2+y^2-2x+2y+1)+k(x^2+y^2-2)=0　…(1)
とおける
(1)は　y=x　と接するので
これを(1)に代入して整理すると
2(k+1)x^2-2k+1=0
ここでk=-1の時(1)は直線を表すので
k≠-1　よって両辺を2(k+1)で割って
x^2=(2k-1)/{2(k+1)}=0
となればよいので　k=1/2
これを(1)に代入して整理すると
{x-(2/3)}^2+{y+(2/3)}^2=8/9
よって　中心(2/3,-2/3)　半径(2√2)/3