質問<1679>2004/4/21
(1)円Оと円О’の方程式をそれぞれx^2+y^2-2y=0,x^2+y^2-4x-4y+4=0とする。 傾きが0でない直線Lが円ОとО’の両方に接するとき、 直線Lの方程式を求めよ。 ですお願いします。 (2)2つの円x^2+y^2=2,(x-1)^2+(y+1)^2=1の2つの交点を通る円が 直線y=xと接するとき、その円の中心と半径を求めよ。
お便り2004/4/27
from=山賊
問1 O:x^2+(y-1)^2=1 O':(x-2)^2+(y-2)^2=4 2円の中心を通る直線は 2x-y+1=0 …(1) O上の点(p,q)における接線の方程式は px+(q-1)(y-1)=1 …(2) (1)より(2)は点(-2,0)を通るので 2p+q=0 よって q=-2p …(3) また、p,qはOの方程式を満たすので p^2+(q-1)^2=1 これに(3)を代入して p=0,-4/5 p≠0なので p=-4/5 (3)より q=8/5 よって接線の方程式は 4x-3y+8=0 …(4) (4)と(2,2)との距離は2となりO'とも接している よって(4)が求める接線である 問2 求める円の方程式はkを実数として (x^2+y^2-2x+2y+1)+k(x^2+y^2-2)=0 …(1) とおける (1)は y=x と接するので これを(1)に代入して整理すると 2(k+1)x^2-2k+1=0 ここでk=-1の時(1)は直線を表すので k≠-1 よって両辺を2(k+1)で割って x^2=(2k-1)/{2(k+1)}=0 となればよいので k=1/2 これを(1)に代入して整理すると {x-(2/3)}^2+{y+(2/3)}^2=8/9 よって 中心(2/3,-2/3) 半径(2√2)/3