質問＜１６８＞９９／８／２０
from=坂田
「階乗」

（－１／２）！というのは定義されていますか？
されているとすればこれはいくらになるのでしょうか？

お返事９９／８／２０
from=武田

ｎ！は「ｎの階乗」と読み、ｎは正の整数のときに限ります。
ただし、例外として０！＝１というのがありますが、質問の
（－１／２）！は負の分数なので、定義からして値は求まり
ません。なにかこういう問題が出てきたのですか？

お便り９９／８／２１
from=坂田

こんにちは。坂田です。
例の階乗の問題ですが、私の計算方法がまずかったのだと思
いますが、積分の問題で出てきました。
あと、正の分数の階乗については、以前どこかで見たことが
あり、√πを含んだ結果だったような覚えがあります。
以上の理由から、質問させていただいた次第です。

追伸９９／１０／１２
from=武田

マグロウヒル大学演習「微積分（下）」（Murray R. Spiegel
著　水町　浩　訳）を見ていたら、坂田君の質問した問題らし
きものを発見しました。
　　　　∞
Γ(n)＝∫　ｘn-1ｅ-xｄｘ
　　　　0
とガンマ関数が定義されている。これはｎ＞０に対して収束
する。
次に、ガンマ関数の循環式Γ(n+1)＝ｎΓ(n)、ただし
Γ(1)＝１が証明される。
これは、ｎが正の整数のとき、Γ(n+1)＝ｎ！となるので、
階乗関数とも呼ばれている。Γ(6)＝５！＝１２０
ｎが正の整数という条件をうっかりはずすと、
Γ(1/2)＝(-1/2)！
という階乗を考えてしまいがちです。

また、正の分数の階乗もうっかり考えがちですが、これは
ガンマ関数の計算がそれらしき雰囲気をかもしているから
です。例えばΓ(5/2)／Γ(1/2)の計算です。
Γ(5/2)／Γ(1/2)＝(3/2)Γ(3/2)／Γ(1/2)
＝(3/2)(1/2)Γ(1/2)／Γ(1/2)
＝３／４

また、Γ(1/2)は定義を使って計算すると、
　　　　　∞
Γ(1/2)＝∫　ｘ-1/2ｅ-xｄｘ
　　　　　0
ｘ＝ｕ2とおくと、
ｄｘ＝２ｕｄｕより、
　　　　　∞
Γ(1/2)＝∫　ｕ-1ｅ-u^2２ｕｄｕ
　　　　　0
　　　　　　∞
　　　 ＝２∫　ｅ-u^2ｄｕ
　　　　　　0
定積分の計算公式より、
　∞
∫　ｅ-x^2ｄｘ＝√π／２
　0
だから
　　　　　　∞
Γ(1/2)＝２∫　ｅ-u^2ｄｕ
　　　　　　0
　　　　＝２×√π／２
　　　　＝√π
質問の＜１６９＞もこの問題に絡んでいるのでしょう。
分からなかった質問が一本の糸で結ばれてホッとしました。