質問<168>99/8/20
(-1/2)!というのは定義されていますか? されているとすればこれはいくらになるのでしょうか?
お返事99/8/20
from=武田
n!は「nの階乗」と読み、nは正の整数のときに限ります。 ただし、例外として0!=1というのがありますが、質問の (-1/2)!は負の分数なので、定義からして値は求まり ません。なにかこういう問題が出てきたのですか?
お便り99/8/21
from=坂田
こんにちは。坂田です。 例の階乗の問題ですが、私の計算方法がまずかったのだと思 いますが、積分の問題で出てきました。 あと、正の分数の階乗については、以前どこかで見たことが あり、√πを含んだ結果だったような覚えがあります。 以上の理由から、質問させていただいた次第です。
追伸99/10/12
from=武田
マグロウヒル大学演習「微積分(下)」(Murray R. Spiegel 著 水町 浩 訳)を見ていたら、坂田君の質問した問題らし きものを発見しました。 ∞ Γ(n)=∫ xn-1e-xdx 0 とガンマ関数が定義されている。これはn>0に対して収束 する。 次に、ガンマ関数の循環式Γ(n+1)=nΓ(n)、ただし Γ(1)=1が証明される。 これは、nが正の整数のとき、Γ(n+1)=n!となるので、 階乗関数とも呼ばれている。Γ(6)=5!=120 nが正の整数という条件をうっかりはずすと、 Γ(1/2)=(-1/2)! という階乗を考えてしまいがちです。 また、正の分数の階乗もうっかり考えがちですが、これは ガンマ関数の計算がそれらしき雰囲気をかもしているから です。例えばΓ(5/2)/Γ(1/2)の計算です。 Γ(5/2)/Γ(1/2)=(3/2)Γ(3/2)/Γ(1/2) =(3/2)(1/2)Γ(1/2)/Γ(1/2) =3/4 また、Γ(1/2)は定義を使って計算すると、 ∞ Γ(1/2)=∫ x-1/2e-xdx 0 x=u2とおくと、 dx=2uduより、 ∞ Γ(1/2)=∫ u-1e-u^22udu 0 ∞ =2∫ e-u^2du 0 定積分の計算公式より、 ∞ ∫ e-x^2dx=√π/2 0 だから ∞ Γ(1/2)=2∫ e-u^2du 0 =2×√π/2 =√π 質問の<169>もこの問題に絡んでいるのでしょう。 分からなかった質問が一本の糸で結ばれてホッとしました。